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Exercícios Resolvidos de Equação modular

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Enunciado

UFF, Cálculo IA-Lista 1, GMA, 2008-1, 14

Resolva para x e

x + 3 = 2 x + 1

Passo 1

Primeiro retiramos o módulo. Para isso, assumimos o valor positivo e o valor negativo para a função dentro do módulo. Vamos fazer isso com a função 2 x + 1 . Sabemos que

2 x + 1 = 0 → x = - 1 2

2 x + 1 < 0   q u a n d o   x < - 1 2

2 x + 1 ≥ 0   q u a n d o   x ≥ - 1 2

Portanto:

x + 3 = 2 x + 1

↓

x + 3 = 2 x + 1   q u a n d o   x ≥ - 1 2 x + 3 = - 2 x + 1   q u a n d o   x < - 1 2

Passo 2

Agora temos que resolver as duas equações separadamente.

Para x ≥ - 1 2 :

x + 3 = 2 x + 1

x = 2

Para x < - 1 2 :

x + 3 = - 2 x - 1

x = - 4 3

Passo 3

Agora vamos fazer a mesma coisa do Passo 1 com a função x + 3 .

x + 3 = 0 → x = - 3

x + 3 < 0   q u a n d o   x < - 3

x + 3 ≥ 0   q u a n d o   x ≥ - 3

Assim:

x + 3 = 2 x + 1

↓

2 x + 1 = x + 3   q u a n d o   x ≥ - 3 2 x + 1 = - x + 3   q u a n d o   x < - 3

Passo 4

Resolvendo as equações:

Para x ≥ - 3 :

2 x + 1 = x + 3

x = 2

Para x < - 3 :

2 x + 1 = - x - 3

x = - 4 3

Passo 5

Fazendo a união de cada intervalo temos como conjunto-resposta:

2 ,   - 4 3

Resposta

2 ,   - 4 3

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