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Exercícios Resolvidos de Equação modular

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Enunciado

Resolva em R as seguintes equações

x - 1 - 2 = 3

Passo 1

Vamos começar usando a definição do módulo em x

x - 1 = x - 1 , x - 1 ≥ 0 - x - 1 , x - 1 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 1 ≥ 0

x ≤ 1

E

x - 1 < 0

x < 1

Resultando em

x - 1 = x - 1 , x ≥ 1 - x - 1 , x < 1

x - 1 = x - 1 , x ≥ 1 - x + 1 , x < 1

Assim, vamos ter

x - 1 + 2 = x - 1 - 2 , x ≥ 1 - x + 1 - 2 , x < 1

x - 1 + 2 = x - 3 , x ≥ 1 - x - 1 , x < 1

Precisamos agora, analisar cada um daqueles módulos separadamente

Passo 2

Vamos para o primeiro módulo x - 3

x - 3 = x - 3 , x - 3 ≥ 0 - x - 3 , x - 3 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 3 ≥ 0

x ≥ 3

E

x - 3 < 0

x < 3

Resultando em

x - 3 = x - 3 , x ≥ 3 - x + 3 , x < 3

Passo 3

Vamos para o segundo módulo - x - 1

- x - 1 = - x - 1 , - x - 1 ≥ 0 - - x - 1 , - x - 1 < 0

- x - 1 ≥ 0

- 1 ≥ x

Invertendo essa desigualdade

x ≤ - 1

E

- x - 1 < 0

- 1 < x

Invertendo essa desigualdade

x > - 1

Resultando em

- x - 1 = - x - 1 , x ≤ - 1 x + 1 , x > - 1

Passo 4

Vamos agora juntar todos esses módulos

x - 1 - 2 = x - 3 , x ≥ 3 - x + 3 , x < 3 , x ≥ 1 - x - 1 , x ≤ - 1 x + 1 , x > - 1 , x < 1

Para organizar essa bagunça, vamos juntar os intervalos

x - 1 - 2 = x - 3 , x ≥ 3   e   x ≥ 1   - x + 3 , x < 3   e   x ≥ 1 - x - 1 , x ≤ - 1   e   x < 1   x + 1 , x > - 1   e   x < 1

Arrumando a bagunça

x - 1 - 2 = x - 3 , x ≥ 3   - x + 3 , 1 ≤ x < 3 - x - 1 , x ≤ - 1   x + 1 , - 1 < x < 1

Colocando em ordem

x - 1 - 2 = x - 3 , x ≥ 3   - x + 3 , 1 ≤ x < 3 x + 1 , - 1 < x < 1   - x - 1 , - 1 ≤ x

Temos 4 equações, um para cada caso

Passo 5

Com x ≥ 3

x - 3 = 3

x = 3 + 3

x = 6

Esse valor está no intervalo, então

x 1 = 6

Passo 6

Com 1 ≤ x < 3

- x + 3 = 3

- x = 3 - 3

- x = 0

x = 0

Mas esse valor não está no intervalo, então ele não é resposta

Passo 7

Com - 1 < x < 1

x + 1 = 3

x = 3 - 1

x = 2

Mas esse valor não está no intervalo, então ele não é resposta

Passo 8

Com x ≤ - 1

- x - 1 = 3

- x = 3 + 1

- x = 4

x = - 4

Esse valor está no intervalo, então

x 2 = - 4

Resposta

x 1 = 6

x 2 = - 4

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