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Exercícios Resolvidos de Espalhamento Compton

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Enunciado

PUC, Física 4, P3 2017.1, 2

Considere um feixe luminoso cujos fótons têm um comprimento de onda de 0,50 angströms e é espalhado por um elétron livre, inicialmente estacionário. Se o ângulo de espalhamento dos fótons é de 60 graus, determine:

a) O deslocamento Compton,

b) A energia associada aos fótons incidentes e aos fótons espalhados

c) A energia do elétron antes e depois da colisão,

d) A velocidade do elétron após a colisão

Passo 1

Para o primeiro item dessa questão temos que lembrar como calcular o deslocamento pela fórmula de Compton, que é dada por

λ ’ - λ 0 = λ c o m p t o n . ( 1 - c o s θ )

em que cada termo dessa fórmula representa

λ ’ = c o m p r i m e n t o   d e   o n d a   d o   f ó t o n   a p o s   o   e s p a l h a m e n t o  

λ 0 = c o m p r i m e n t o   d e   o n d a   d o   f ó t o n   a n t e s   d o   e s p a l h a m e n t o  

θ = â n g u l o   e m   q u e   o c o r r e u   o   e s p a l h a m e n t o  

E por fim

λ c o m p t o n = c o m p r i m e n t o   d e   o n d a   d e   c o m p t o n ,   d a d o   p e l a   f ó r m u l a  

λ c o m p t o n = h m 0 . c

Substituindo teremos que

∆ λ = h m 0 . c . ( 1 - c o s θ )

Sabemos pelo formulário que

h m 0 . c = 0,00243 n m = 0,0243 A

θ = 60 °

Substituindo teremos

∆ λ = 0,00243 n m . 1 - c o s 60 ° = 1,215.10 - 3 n m = 1,21 p m

Passo 2

Para sabermos a energia associada basta conhecer a fórmula da energia do fóton e os seus comprimentos de ondas finais e iniciais, sabemos que a fórmula da energia do fóton é dada por

E f = h . f = h c λ

Sabemos que

h c = 1240   e V . n m

λ i = 0,5   A = 0,05 n m

λ f = 0,05 + ∆ λ = 0,05 + 1 , 215 . 10 - 3 = 0,051215 n m

Para o estado inicial a energia associada é

E i n i c i a l = 1240   e V . n m 0,05 n m = 24800 e V = 24,8   K e V

E f i n a l = 1240   e V . n m 0,051215 = 24 212 e V = 24,2 6   K e V

Passo 3

O nosso terceiro objetivo é determinar a energia de elétron antes e depois da colisão, e sabemos que para o elétron a fórmula da sua energia relativística será dada por

E e 0 = m 0 . c 2   ( a n t e s   d a   c o l i s ã o )

E

E e f = E e 0 + ∆ E f =   ( D e p o i s   d a   c o l i s ã o )

A energia antes já é dada no formulário por ser a massa do elétron vezes a velocidade da luz ao quadrado, logo

E e 0 = 0,511 M e V = 511 K e V

Já a energia final do elétron é o que o elétron tinha mais o que foi transferido pelo fóton, logo, temos que

E e f = E e 0 + ∆ E f = 511 + 24,8 - 24,2 6   = 511,54 K e V

Aqui é valido lembrar que a variação de energia no fóton é negativa pois representa que o fóton PERDEU energia, logo se o fóton perdeu energia o elétron foi quem ganhou essa energia, é muito importante que isso fique claro pois na conta fizemos a energia inicial do fóton menos a final exatamente para que tenhamos esse valor positivo, e a motivação é exatamente essa que foi dita acima, para o fóton a variação é negativa pois ele perdeu essa energia, mas em compensação o elétron ganhou ela, por isso a somamos.

Passo 4

Agora nesse ultimo passa precisamos calcular a velocidade do elétron após a colisão, para isso basta lembrar que a relação entre energia final e inicial em cálculos relativísticos é dada por

E f i n a l = γ . E i n i c i a l

Em que

γ   é   o   f a t o r   d e   l o r e n t z =   1 1 - β 2

Sabemos que

E f i n a l = 511,54

E i n i c i a l = 511

Substituindo teremos

511,54 = 1 1 - β 2 . 511

1 1 - β 2 = 511,54 511 = 1,0010567

1 - β 2 = 0,99894

β 2 = 1 - 0.9979

β = 0,04

β = v c

v = 0,04 c

Resposta

a) ∆ λ = 1,215.10 - 3 n m = 1,21 p m

b) E i n i c i a l = 24,8   K e V

E f i n a l = 24,26   K e V

c) E e 0 = 511 K e V

E e f = 511,54 K e V

d) v = 0,04 c

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