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Exercícios Resolvidos de Fluxo de Campo Elétrico

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Enunciado

UFRJ – Física 3 2020.2 – P2 – Questão 5

Considere três objetos carregados:

  1. um fio retilíneo, posicionado entre os pontos x = 0 e x = L , com densidade linear de carga λ = a x ( a é uma constante);
  2. uma chapa plana, ocupando o quadrado { x , y | 0 ≤ x , y ≤ L } , com densidade superficial σ = b y ( b é constante), e
  3. um sólido, ocupando o cubo { x , y , z | 0 ≤ x , y , z ≤ L } ,, com densidade volumar ρ = c z ( c é constante).

Todos esses objetos encontram-se no interior de uma superfície fechada S . Qual das alternativas abaixo corresponde ao fluxo elétrico através da superfície S ?

Escolha uma:

  1. Φ = 1 ϵ 0 a L 2 2 + b L 3 3 + c L 4 4
  2. O fluxo é nulo.
  3. Φ = 1 ϵ 0 a L 2 2 + b L 3 3 + c L 4 4
  4. Φ = 1 ϵ 0 a L 2 2 + b L 3 2 + c L 4 2
  5. Φ = 1 ϵ 0 a b c L 9 1 3 9
  6. Φ = 1 ϵ 0 a L 2 + 2 b L 3 + 3 c L 4
  7. Φ = 1 ϵ 0 a L 2 + b L 3 + c L 4

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui pra te ajudar!

O fluxo de campo elétrico é dado pela carga total dentro da superfície gaussiana dividido por ϵ 0 , da lei de Gauss:

Φ = Q ϵ 0

E todas essas superfícies (fio, plano e cubo) estão carregadas e dentro da superfície S , então todas essas cargas contribuem para o fluxo Φ .

Precisamos calcular a carga total em cada uma dessas superfícies, achar o fluxo de cada uma e depois fazer a soma de todos os fluxo.

Passo 2

Começando pelo fio carregado. Como a distribuição é linear, o diferencial de carga é:

d Q = λ d x = a x   d x

Os limites de integração são 0 < x < L , agora é só integrar:

Q = ∫ 0 L a x   d x = a x 2 2 0 L = a L 2 2

E o fluxo associado a essa carga é:

Φ 1 = a L 2 2 ϵ 0

Passo 3

Agora a placa quadrada carregado. Como a distribuição é superficial, o diferencial de carga é:

d Q = σ d x d y = b y   d x d y

Os limites de integração são 0 < x , y < L , agora é só integrar:

Q = ∫ 0 L ∫ 0 L b y   d x d y = ∫ 0 L b y x 0 L d y = ∫ 0 L b L y d y = b L y 2 2 0 L = b L 3 2

E o fluxo associado a essa carga é:

Φ 2 = b L 3 2 ϵ 0

Tranqüilo até aqui?

Passo 4

Agora o cubo carregado. Como a distribuição é volumétrica, o diferencial de carga é:

d Q = ρ d x d y d z = c z   d x d y   d z

Os limites de integração são 0 < x , y , z < L , agora é só integrar:

Q = ∫ 0 L ∫ 0 L ∫ 0 L c z   d x d y   d z = c ∫ 0 L x 0 L y 0 L   z d z = c L 2 ∫ 0 L z   d z = c L 2 z 2 2 0 L = c L 4 2

E o fluxo associado a essa carga é:

Φ 3 = c L 4 2 ϵ 0

Passo 5

O fluxo total é a soma de todos os fluxos associados às cargas:

Φ = Φ 1 + Φ 2 + Φ 3

Φ = a L 2 2 ϵ 0 + b L 3 2 ϵ 0 + c L 4 2 ϵ 0

Φ = 1 ϵ 0 a L 2 2 + b L 3 2 + c L 4 2

Analisando as alternativas, a correta é a (d).

Resposta

( d )

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