UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 3b.
3 - Determine a derivada direcional de em na direção do vetor :
b) , , .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Essa questão parece difícil? Relaxa, ela é mais simples do que parece. Temos que calcular a derivada direcional de , no ponto e na direção do vetor .
Derivada direcional? O que é isso?? 🤔🤔
A derivada direcional de uma função de várias variáveis diferenciável ao longo de um dado vetor em um dado ponto intuitivamente representa a taxa instantânea de variação da função.
Beleza, sabemos pra que serve uma derivada direcional, mas como vamos calcula-la?? 🤔
Existe uma formulinha para se calcular a derivada direcional de uma função, em um ponto e em uma determinada direção. Dada por
A derivada direcional será o produto interno do gradiente de no ponto com o vetor unitário. e são as coordenadas do ponto .
Entendeu tudo? Podemos por a mão na massa então!
Passo 2
Vamos construindo nosso probleminha parte a parte. Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de .
Podemos usar uma propriedade que diz: o produto das raízes é igual a raízes do produto, isso quer dizer que
Fazemos essa mudança para ficar mais fácil a visualização das derivadas.
A derivada parcial com relação a é
e se comportam como constantes e a derivada de uma raiz é dada como
Com isso
A derivada parcial de com relação a é
e se comportam como constantes e a derivada de uma raiz é dada como
Com isso
Já a derivada parcial de com relação a é
e se comportam como constantes e a derivada de uma raiz é dada como
Com isso
Tranquilo até aqui?
Passo 3
O próximo passo é substituir as coordenadas do ponto nas derivadas parciais, onde substituímos por , por e por .
Não podemos ter , então temos que descobrir uma forma de elimina-la da nossa fração.
Pra isso podemos escrever como , dessa forma, podemos eliminar a raiz , veja só
Podemos aplicar a propriedade que diz que quando temos potencias de bases igual, repetimos as bases e somamos as potências.
Vamos fazer o mesmo para a derivada parcial com relação a
Para eliminar nossa raiz de numero negativos, podemos fazer o seguinte
Escrevemos como , assim podemos cortar do numerador e do denominador
Ou seja
Agora repetimos com a derivada parcial de
Escrevendo como no denominador, temos
Simplificamos a fração cortando do numerador e do denominador, logo depois fizemos o mesmo com . Dessa forma resultando em
Difícil?
Passo 4
O próximo passo é calcular o vetor em sua forma unitária. Sabe calcular um vetor unitário?
Um vetor qualquer em sua forma unitária é basicamente ele dividido pelo seu módulo, ou seja, ele dividido pelo seu tamanho.
O modulo do vetor é calculado pela raiz da soma das suas coordenadas ao quadrado, ou seja
unitário então será
Por fim, substituímos os resultados que encontramos na formulinha que vemos no início.
Resta calcular o produto interno desses dois vetores, lembra como fazemos isso?
O produto interno é calculado somando o produto de cada coordenada, por exemplo, com , com e com .
Encontramos nossa derivada direcional de , no ponto e na direção como !
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
