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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 7a.

7 - Determine f x x , f x y , f y x e f y y para cada uma das seguintes funções:

a) f x , y = 3 x 2 + 2 y 2

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Essa questão foi bem direta, foi dado fuma função f x , y = 3 x 2 + 2 y 2 e nos pediram pra calcular f x x , f x y , f y x e f y y .

Mas perai, o que são esses f x x , f x y , f y x e f y y ?? O que fazem e onde vivem? 🤔

Lembra que pra representar uma derivada parcial de uma função, ao invés de escrevermos ∂ f ∂ x , passamos a escrever f x por ser mais prático. A ideia aqui é a mesma, a diferença é que f x x representa a segunda derivada de f com relação a x . f x y representa a derivada de f em relação a y da derivada parcial de f em relação a x e assim por diante.

Essas representações são uma maneira mais pratica de escrever, por exemplo

∂ 2 f ∂ x 2 = f x x ;   ∂ 2 f ∂ x ∂ y = f x y ;   ∂ 2 f ∂ y ∂ x = f y x ; ∂ 2 f ∂ y 2 = f y y

Percebeu como é mais prático?

Bora para os cálculos!

Passo 2

Vamos calcular um de cada vez. Primeiro vamos calcular a segunda derivada parcial de f com relação a x , ou simplesmente f x x .

Pra isso, vamos calcular a derivada parcial de f e a partir do resultado, vamos derivar novamente.

Se f x , y = 3 x 2 + 2 y 2

Por derivação de polinômios, y se comporta como constante, então podemos ignora-la.

f x = ∂ f ∂ x = ∂ 3 x 2 + 2 y 2 ∂ x

f x = 2 · 3 x 2 - 1

f x = 6 x

Com esse resultado, derivamos novamente com relação a x para encontrar f x x .

Por derivada de polinômios, temos

f x x = ∂ f x ∂ x = ∂ 6 x ∂ x

f x x = 6

aproveitando que acabamos de calcular f x vamos calcular f x y , pra isso, vamos derivar f x com relação a y .

Vemos que em f x não temos y , logo 6 x se comporta como uma constante e como sabemos, a derivada de uma constante é igual a 0 , ou seja

f x y = ∂ f x ∂ y = ∂ 6 x ∂ y

f x y = 0

Está acompanhando?

Passo 3

Agora vamos calcular a primeira derivada de f com relação a y para obter f y x e f y y posteriormente.

Derivando f com relação a y , a variável x se comporta como uma constante, dessa forma podemos ignora-la já que a derivada de uma constante é igual a 0 .

f y = ∂ f ∂ y = ∂ 3 x 2 + 2 y 2 ∂ y

f y = 2 · 2 y 2 - 1

f y = 4 y

Com f y calculado, podemos calcular a derivada de f y com relação a x para encontrar f y x

f y x = ∂ f y ∂ x = ∂ 4 y ∂ x

Neste caso, derivando 4 y com relação a x , é como se derivássemos uma constante já que f y não depende de x .

f y x = 0

Por fim, vamos derivar f y com relação a y para obter f y y

f y y = ∂ f y ∂ y = ∂ 4 y ∂ y

Por derivada de polinômios, temos

f y y = 4

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f x x = 6

f x y = 0

f y x = 0

f y y = 4

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