Listas FVV – GRADMAT
A equação
Onde é uma construção positiva, é chamada equação de onda. Sejam e funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
- Mostre que e satisfazem a equação da onda.
Passo 1
Oie, meu amigo. Tudo bem contigo? Pronto para mais uma resolução?
Veja bem, hoje iremos resolver uma atividade de regra da cadeia. Primeiro, vamos relembrar como funciona a regra da cadeia.
Quando precisamos derivar uma função composta, isso é, uma função dentro de outra função, devemos utilizar a regra da cadeia:
E é isso que iremos utilizar para demonstrar que:
Ambas funções compostas, satisfazem a equação da onda:
Note que estamos trabalhando com derivadas parciais na equação da onda, mas a regra da cadeia é a mesma.
Utilizando essa técnica de derivação poderemos demonstrar que essas funções satisfazem a equação.
Passo 2
Para derivamos iremos chamar:
Teremos que:
E derivando parcialmente:
Como , temos que . Assim:
Agora derivando novamente em relação a :
Como , temos que:
Passo 3
Calculando as derivadas parciais em relação a :
Como temos que , temos que . Assim:
Derivando novamente em relação a :
Como , temos que:
Passo 4
Agora iremos verificar a equação da onda para
Substituindo as derivadas na equação da onda:
Logo, teremos que:
Portanto, satisfaz a equação da onda.
Passo 5
Agra iremos derivar , o procedimento é semelhante ao que fizemos anteriormente.
Seja .
Iremos derivar parcialmente em relação a :
Como , temos que . Assim, temos que:
Derivando novamente em relação a :
Como , temos:
Passo 6
Realizando as derivadas parciais em relação a :
Como , temos que . Assim:
Derivando novamente em relação a :
Como , temos:
Agora finalmente iremos verificar a equação da onda para
Substituindo as derivadas na equação da onda:
E
Logo:
Portanto, também satisfaz a equação da onda.
Resposta
Ver a resolução!