Lista de exercícios 9 – Universidade de Brasília– questão 4 item d
Dado aberto, seja diferenciavel em Mostre que a direção ao longo da qual a derivada direcional de f em é máxima é ao longo de
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?
Bom, aqui faremos uso de um teorema que ao meu ver é muito poderoso: que é chamado de gradiente na função , e ele aponta para onde a função está crescendo, assim o seu máximo. Além disso, à titulo de interesse, o gradiente, ao apontar para onde a função está crescendo, é também tangente à curva de nível.
Mas a melhor forma de demonstrar algo é por um exemplo, né?! Faremos então
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Obrigado por vir.
A derivada direcional de f na direção x é:
Também:
O valor máximo, que é o que queremos, é máximo quando .
Concluimso que o valor máximo da derivada direcional de uma função diferencialvel é e ocorre quando a o vetor, no nosso exemplo tem mesma direção e sentido que . Logo ela é máxima em
Resposta
Demonstração no passo 2.