UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 12a.
12 - Se o potencial elétrico em um ponto do plano é então o vetor campo elétrico no ponto é . Suponha que .
a) Determine o valor do campo elétrico em .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
O pessoal de Engenharia Elétrica/Eletrônica pira nessa questão 😍
Foi dito que o potencial elétrico no plano é dado por .
A partir dessa equação, foi dito que o vetor campo elétrico nesse mesmo plano é dado por , ou seja, o campo elétrico é dado pelo gradiente da função potencial elétrico.
Lembra como calcula o gradiente de uma função??
O gradiente de é composto pelas derivadas parciais das suas coordenadas, por exemplo
Depois disso, a questão pediu para calcularmos o campo elétrico no ponto .
Entendeu? Bora por a mão na massa!
Passo 2
Primeiro a gente calcula o gradiente de , onde é o primeiro termo do nosso gradiente.
Como estamos derivando com relação a , a variável se comporta como uma constante.
Neste caso, usamos a regra da cadeia quando temos uma função dentro de outra função.
Calculamos a regra da cadeia derivando a função de dentro multiplicando pela derivada da função de fora.
No nosso caso, , ou seja
A derivada então será
A derivada de com relação a será
A derivada de com relação a será
Substituindo esses resultados em , temos
Substituindo por de volta, temos
Tranquilo?
Passo 3
Para obter o vetor gradiente de falta apenas calcularmos
Para esse cálculo, temos que aplicara a regra da cadeia novamente, veja só, se , então
A derivada de é dada por
A derivada de é dada por
Substituindo os resultados e em , temos
Algum mistério?
Passo 4
Com isso, calculamos o seguinte vetor gradiente
Este vetor determina o campo elétrico no espaço .
Por último, substituímos os valores , para encontrar o campo elétrico neste ponto.
O vetor campo elétrico no ponto possui na direção do eixo e na direção do eixo .
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
