UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 13b.
13 - A equação
onde é uma constante positiva, é chamada equação de onda. Sejam e funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
b) Mostre que uma função da forma satisfaz a equação da onda.
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Essa questão nos deu uma equação meio estranha e a chamou de “equação da onda”
é uma função ou as quais devem ser ter derivadas de ordem 2.
Para resolver essa questão, vamos definir duas funções e e soma-las, dessa forma definindo
Devemos substituir por e mostrar que satisfaz a equação da onda.
Entendeu? Vamos começar!
Passo 2
No item a), definimos e e provamos a equação da onda para esses dois.
Agora vamos trocar e de lugar
Dessa forma, temos
Agora devemos calcular as derivadas de com relação a e a . Primeiro com relação a , temos
Lembre que a derivada da soma, é igual a soma das derivadas, então
Vamos calcular essas derivadas separadamente pra facilitar a visualização do que estamos fazendo.
Bora lá!
Passo 3
Vamos calcular as derivadas
Para a derivada da exponencial, vamos aplicar a regra da cadeia. Lembra? A derivada de dentro · a derivada de fora
A derivada de com relação a é , já que não temos para derivar
A derivada de , por derivação de polinômios, é igual a
Assim como a derivada de é igual a
Substituindo esses resultados em , temos
Estamos em busca da segunda derivada, então temos que derivar o resultado novamente.
Passo 4
vamos derivar com relação a
Vamos aplicar a ideia novamente de que a soma das derivadas é a derivada das somas.
Podemos tirar a constante da derivada da exponencial, resultando em
Acabamos de calcular essa derivada, lembra?
A derivada de é já que não temos para derivar
Por derivação de polinômios, é igual a .
Substituindo esses valores em , temos
Tranquilo até aqui?
Passo 5
Agora devemos calcular as derivadas de com relação a
Para facilitar a visualização das etapas dos cálculos, vamos aplicar a ideia das somas das derivadas novamente.
A derivada de é o próprio , já que não influencia nos cálculos
Por derivada de polinômios, é igual a e é igual a
A derivada de é igual a já que não temos para derivar
Substituindo esses resultados em , temos
Está acompanhando?
Passo 6
Estamos quase acabando, vamos derivar o resultado que obtemos anteriormente para obter a segunda derivada.
Aplicando a ideia da derivada das somas, temos
Já derivamos e vimos que o resultado é o próprio
Por derivada de polinômios, é igual a
A derivada de é igual a já que não temos para derivar
Substituindo esses resultados em , temos
Difícil?
Passo 7
Por fim, voltamos lá no início onde tínhamos que provar a equação
Vamos substituir nossos resultados de e na equação e ver se deu tudo certinho.
Viu só! Mostramos que para uma função a equação da onda é verídica.
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
