UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 11a.
11 - Determine o maior conjunto aberto no qual nos seguintes casos:
a) ;
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Essa questão é bem interessante. Temos que calcular o maior conjunto aberto em que pela função
Talvez você esteja pensando “o que é um conjunto aberto?”
Podemos imaginar a definição de um conjunto aberto quanto temos um ponto em uma reta finita e esse ponto não está em nenhuma das extremidades da reta, ou seja, as vizinhanças desse ponto também fazem parte da reta. Já quando temos um ponto na extremidade da reta, as um lado da vizinhança do ponto não está contida na reta.
Ou seja, no primeiro caso, o ponto está contido no intervalo aberto da reta e no segundo caso não.
Com isso em mente, temos que verificar se e depois ver para quais valores ou é definido.
Entendeu? Bora para os cálculos então! 😎
Passo 2
Vamos calcular , primeiro vamos calcular a derivada de com relação a
Por derivação de polinômios
Agora derivamos o resultado com relação a
Por derivação de polinômios
Agora vamos calcular , derivamos com relação a
Por derivação de polinômios
Derivamos o resultado com relação a para encontrar
Por derivação de polinômios
Sem mistérios até aqui, não é?
Passo 3
Conferimos que , mas e agora? Qual é o maior conjunto aberto de ?
Pelo que podemos analisar das derivadas
A primeira coisa que devemos olhar é se temos alguma restrição, ou seja, para quais valores de e a função é indeterminada?
Neste caso não existe, não é? Podemos assumir qualquer valor de e que será possível obter uma imagem.
Se podemos assumir qualquer valor, logo o conjunto dos números é o maior conjunto que é aberto.
Vamos chamar de o conjunto de valores e é aberto em tal que pertence ao conjunto dos números reais. Ou seja
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
