UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 10b.
10 - Uma função com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace é dita harmônica. Qual das funções abaixo são harmônicas?
b) ;
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Para essa questão, nos trouxeram um conceito sobre a Equação de Laplace. Quando a soma das derivadas parciais de segunda ordem da função é igual a
A função é considerada harmônica.
Com isso, nos pediram para verificar se a função é harmônica.
é dada como , ou seja
Conseguiu compreender o que temos que fazer?? 🤔
De forma resumida, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função e verificar se a soma dessas derivadas vai ser igual a .
Bora para os cálculos então!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada segunda (de ordem 2) de com relação a .
Mas antes, precisamos calcular a derivada de primeira ordem
Lembrando que a derivada da soma é a soma das derivadas, então
Como estamos derivando em relação a , a variável se comporta como constante. Dessa forma, na primeira derivada é tratada como uma constante, então pode sair da derivação
A derivada de , é o próprio , então
Para a segunda derivada, é tratada como uma constante e como sabemos, a derivada de uma constante é
Logo
Agora, vamos calcular a segunda derivada de com relação a , pra isso vamos derivar o resultado que encontramos anteriormente
Acabamos de calcular a derivada de , lembra? O é constante e sai da derivação e a derivada de é igual a .
Entendeu a lógica?
Passo 3
Com o primeiro termo da nossa equação encontrada, vamos calcular a derivada segunda de com relação a . Antes, vamos calcular a primeira derivada.
Assim como antes, podemos separar a derivada da soma pela soma da derivada.
Como estamos derivando com relação a , agora é a vez de se comportar como uma constante.
Assim, na primeira derivada, é uma constante, então pode sair pra fora da derivada.
Restando a derivada do , que como sabemos, é igual ao , ou seja
A outra derivada pode ser um pouiquiiiinho mais trabalhosa. Nesse caso, temos a multiplicação de duas funções, então temos que aplicar uma regrinha que chamamos de regra do produto.
Aplicamos essa regrinha quando podemos separar uma função em duas, por exemplo
podemos escrever como
onde e .
a regra do produto diz o seguinte
Ou seja
Vimos que a derivada de é igual a ele mesmo e a derivada de é igual a
Substituindo na regra do produto, temos.
Substituindo e em , temos
Difícil?
Passo 4
Depois de encontrarmos a primeira derivada de com relação a , vamos derivar o resultado para encontrar a segunda derivada.
Novamente, podemos calcular a derivada da soma, como a soma das derivadas
A primeira é mais simples, como estamos derivando com relação a , é tratada como constante, então
Vimos no passo anterior que a derivada do é igual a , então
A próxima derivada é
Lembra que acabamos de calcular essa derivada pela regra do produto? Encontramos seu resultado como
A ultima derivada é dada como
Perceba que podemos calcula-la pela regra do produto também, ou seja
Vimos que a derivada de é o próprio e a derivada de é igual a , substituindo esses valores na regra do produto, temos
Substituímos esse valor em , temos
Organizando esse resultado um pouquinho, temos
Tranquilo até aqui?
Passo 5
Encontramos os dois primeiros termos da nossa equação, resta apenas o ultimo, dado por .
Antes de calcular a derivada parcial de de segunda ordem com relação a , vamos calcular a derivada de primeira ordem.
Mas perai! não depende de e as variáveis e são tratadas como constantes quando derivadas com relação a .
Sabemos que a derivada de uma constante é igual a . Com isso, vemos que a primeira e a segunda derivada de com relação a é igual a .
Por fim, substituímos esses resultados que encontramos na nossa Equação de Laplace
Assim, temos
A igualdade não foi verificada, então a função , não é harmônica!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
não é harmônica.