Seja

f x , y = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2 ,   s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 ,   s e   x , y = ( 0,0 )

Se x , y ≠ 0,0 , calcule ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y

Passo 1

E aí, gente!! Bem, vamos encarar mais um exercício desses?! Então, aqui como vocês podem ver, vamos precisar calcular a derivada parcial da função quando ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) . Observe que vamos precisar fazer uma regra do quociente ali.

Pra facilitar nossa vida, podemos fazer a distributiva no numerador, porque aí fugimos de ter mais complicações na derivação.

f x , y = x 3 y - y 3 x x 2 + y 2

Passo 2

Derivando em função de x , vamos ter a regra do quociente, tal que:

∂ f ∂ x = x 3 y - y 3 x ' x 2 + y 2 - x 3 y - y 3 x x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = 3 x 2 y - y 3 x 2 + y 2 - ( x 3 y - y 3 x ) ( 2 x ) x 2 + y 2 2

Vamos melhorar o numerador!!

∂ f ∂ x = 3 x 4 y + 3 x 2 y 3 - x 2 y 3 - y 5 - ( 2 x 4 y - y 3 2 x 2 ) y 2 + x 2 2

∂ f ∂ x = - y y 4 - 4 x 2 y 2 - x 4 y 2 + x 2 2

Passo 3

Vamos agora fazer a derivada parcial em relação a y . Note que de maneira semelhante vamos aplicar a regra do quociente, certo?

∂ f ∂ y = x 3 y - y 3 x ' x 2 + y 2 - x 3 y - y 3 x x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = x 3 - 3 y 2 x x 2 + y 2 - x 3 - 3 y 2 x 2 y x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = - x y 4 + 4 x 2 y 2 - x 4 x 2 + y 2 2

Resposta

∂ f ∂ x = - y y 4 - 4 x 2 y 2 - x 4 y 2 + x 2 2

∂ f ∂ y = - x y 4 + 4 x 2 y 2 - x 4 x 2 + y 2 2

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