Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

Ver Teoria
Exercício 105123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFABC – Lista 4 – 2018.3 – 4c

Seja

f x , y = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2 ,   s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 ,   s e   x , y = ( 0,0 )

Mostre que ∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 = 1   e   ∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 = - 1

Passo 1

E aí, gente!! Bem, vamos encarar mais um exercício desses?! Então, aqui como vocês podem ver, vamos precisar calcular a derivada parcial da função quando ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) . Observe que vamos precisar fazer uma regra do quociente ali.

Pra facilitar nossa vida, podemos fazer a distributiva no numerador, porque aí fugimos de ter mais complicações na derivação.

f x , y = x 3 y - y 3 x x 2 + y 2

Depois de derivar, substituirmos os valores de x , y = ( 0,0 )

Passo 2

Derivando em função de x , vamos ter a regra do quociente, tal que:

∂ f ∂ x = x 3 y - y 3 x ' x 2 + y 2 - x 3 y - y 3 x x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = 3 x 2 y - y 3 x 2 + y 2 - ( x 3 y - y 3 x ) ( 2 x ) x 2 + y 2 2

Vamos melhorar o numerador!!

∂ f ∂ x = 3 x 4 y + 3 x 2 y 3 - x 2 y 3 - y 5 - ( 2 x 4 y - y 3 2 x 2 ) y 2 + x 2 2

∂ f ∂ x = - y y 4 - 4 x 2 y 2 - x 4 y 2 + x 2 2

Passo 3

Vamos agora calcular a derivada segunda, porém derivando em função de y

∂ f ∂ x = - y y 4 - 4 x 2 y 2 - x 4 y 2 + x 2 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y = - y - x y + x y 4 + 10 x 2 y 2 + x 4 y 2 + x 2 3

Vamos agora pensar no seguinte, se a gente já tacar o ponto x , y = ( 0,0 ) , percebemos que não dará 1 ou -1, né? Então vamos ter que dar uma olhada no algebrismo aí.

Fazendo a divisão do polinômio, temos:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 6 x 2 y 4 - 12 x 4 y 2 - 2 x 6 + 1

No ponto (0,0) ∂ 2 f ∂ x ∂ y = 1

Passo 4

Vamos agora fazer a derivada parcial em relação a y . Note que de maneira semelhante vamos aplicar a regra do quociente, certo?

∂ f ∂ y = x 3 y - y 3 x ' x 2 + y 2 - x 3 y - y 3 x x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = x 3 - 3 y 2 x x 2 + y 2 - x 3 - 3 y 2 x 2 y x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = - x y 4 + 4 x 2 y 2 - x 4 x 2 + y 2 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x = - x - y y + x y 4 + 10 x 2 y 2 + x 4 y 2 + x 2 3

Aplicando ao ponto, temos:

∂ 2 f / ∂ y ∂ x   0,0 = - 1  

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f ( x , y ) com o plano x = x 0 no ponto P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) .a) z = x 2 + y 2 - 1 ; P ( 1 ,- 1 ,1 )
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ
80. A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1