UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 7b.
7 - Determine , , e para cada uma das seguintes funções:
b)
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Essa questão foi bem direta, foi dado fuma função e nos pediram pra calcular , , e .
Mas talvez você se pergunte: “o que é , , e ??” 🤔
É mais simples do que parece!
Lembra que pra representar uma derivada parcial de uma função, ao invés de escrevermos , passamos a escrever por ser mais prático. A ideia aqui é a mesma, a diferença é que representa a segunda derivada de com relação a . representa a derivada de em relação a da derivada parcial de em relação a e assim por diante.
Essas representações são uma maneira mais pratica de escrever, por exemplo
Percebeu como a representação é mais prática?
Bora para os cálculos!
Passo 2
Vamos com calma pois com passo a passo a gente chega em qualquer lugar.
Primeiro vamos calcular a primeira derivada parcial de com relação a .
Perceba que temos uma função composta que podemos escrever como , onde e
Dessa forma, temos que aplicar a regra da cadeia para derivar essa função.
Ta ligado como aplica a regra da cadeia?
Ela diz o seguinte “a derivada de uma função composta é igual ao produto da derivada da função de dentro com a função de fora”. Ou seja
Onde
Substituindo por , temos , logo
Com em mãos, podemos calcular e .
A segunda derivada de com relaçãoa será
Perceba que neste caso temos um misto agora, pois temos , ou seja, vamos mesclar duas técnicas de derivação: a regra do produto com a regra da cadeia.
Já vimos como aplicamos a regra da cadeia, mas e a regra do produto? Sabe como é?
A regra do produto é calculada como a derivada da primeira função multiplicado pela segunda função, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda função. Desse jeito aqui
Ou seja
Resolvendo as derivadas perceba que em temos que usar a regra da cadeia, que usamos em .
Entendeu?
Passo 3
Para calcular , vamos calcular
Derivamos com relação a , temos que aplicar a regra do produto e a regra da cadeia novamente. Onde
Vamos aplicar a regra da cadeia em , para assim, temos
Resolvendo a distributiva de
Agora calculamos a derivada de com relação a , para depois calcularmos e
Vamos aplicar a regra da cadeia novamente, mas dessa vez com relação a , onde .
Com calculados, podemos calcular , ou seja, a derivada de com relação a .
Novamente temos que usar a combinação de dois métodos de derivação, a regra do produto e a regra da cadeia.
Vamos aplicar a regra da cadeia em , onde temos
Substituindo em , temos
Simplificando a equação, temos
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Por fim, vamos derivar com relação a para encontrar
se comporta como uma constante, então pode sair da derivada
Para resolver a derivada, temos que aplicar a regra da cadeia: “a derivada de dentro multiplicado pela derivada de fora”.
Para
Substituindo em
Simplificando um pouco mais a equação, temos
Encontramos todas as derivadas que foram pedidas!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
