UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 14a.
14 - O capitão Astro está outra vez em perigo perto da órbita de Mercúrio. Ele está na posição , e a temperatura da blindagem de sua espaçonave num ponto é dada por graus.
a) Que direção ele deve tomar para perder temperatura o mais rápido possível?
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
“Atenção, Atenção! Sou o capitão Astro e estou em perigo! Me encontro na posição e a temperatura em um sensor da minha aeronave está variando de acordo com a função ! Me ajudem!! Câmbio desligo!”
Essa foi a mensagem recebida por uma base militar em algum lugar do Responde Aí. A princípio o operador de rádio ficou assustado, pois essas coisas quase nunca acontecem, então ele falou
Mas logo em seguida ele pensou “no Responde Aí, esse problema vai ter solução!”. Com isso ele ligou para os nossos profissionais e perguntou o que podíamos fazer para solucionar o problema.
A resposta foi “se a temperatura está variando de acordo com uma função, vamos descobrir a direção em que a função cresce mais rapidamente e vamos partir para a direção contrária”
Mas eaí! Como descobrimos a direção em que mais aumenta? E como calculamos a direção contrária??
Relaxa, veja só!
Passo 2
Estamos estudando algo que pode nos ajudar, a derivada direcional. Sabemos que a derivada direcional de uma função em uma direção de um vetor unitário resulta em uma taxa de variação da função, não é? onde
Lembre-se que a direção de maior variação de será quando e estiverem na mesma direção, ou seja
Calculando vamos encontrar a direção em que a função mais cresce, se fizermos , vamos encontrar a direção em que mais diminui, concorda?
Bora lá! O gradiente de é dado pelas derivadas parciais, onde
Bora calcular esse gradiente.
Primeiro, vamos encontrar
Para essa derivada, vamos utilizar a regra da cadeia, lembra? “a derivada de dentro · derivada de fora”
Fazendo
Por derivada de polinômios e a derivada de , temos
Substituindo por de volta, temos
Compreendeu?
Passo 3
Vamos encontrar os outros dois termos do nosso gradiente. Agora
Vamos ter que aplicara a regra da cadeia novamente, fazendo
Por derivada de polinômios e a derivada de é igual a , então
Substituindo por
Por último, vamos calcular do nosso gradiente
Novamente vamos aplicar a regra da cadeia, onde
Por derivada de polinômios e derivada de Euler, temos
Substituindo por
Bacana, não é?
Passo 4
Nosso gradiente, portanto, é
Ok, mas para saber a direção, devemos saber onde o Capitão Astro está, para isso, temos que substituir as coordenadas de no gradiente
Esse é o vetor que direciona para onde a temperatura mais vai subir, lembra?
Devemos ir para a direção contrária, ou seja
Podemos perceber que temos um operador em comum nesse vetor, no caso, .
Esse operador não muda a direção, apenas a magnitude, então
Portanto a direção que o capitão deve seguir é !
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
