UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 14b.
14 - O capitão Astro está outra vez em perigo perto da órbita de Mercúrio. Ele está na posição , e a temperatura da blindagem de sua espaçonave num ponto é dada por graus.
b) Se a espaço nave viaja a e unidades de comprimento por segundo, com que taxa a temperatura irá cair quando ele seguir a direção do item (a)?
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
No item a), vimos o drama que o Capitão Astro está passando. Correndo risco de vida encontramos a direção em que ele deve guiar sua nave para fugir o mais rápido possível do calor.
Agora, a nave está seguindo o vetor e supondo que a nave esteja viajando a uma velocidade de unidades de comprimento por segundo.
Com essas informações, queremos descobrir a taxa de decaimento da temperatura da nave.
Parece muito complexo, não é?
Mas olha só, lembra que a derivada direcional de uma função nos mostra a taxa de variação dela em uma determinada direção?
Então, vamos aplicar essa ideia.
Veja só!
Passo 2
a derivada direcional de na direção é dada por
Já calculamos o gradiente no item a) e temos
Eles acabaram de mudar de direção, então ainda estão no mesmo ponto. Para descobrir a variação, temos que aplicar as coordenadas do ponto . Também fizemos esse cálculo no item anterior, então vamos substituir.
Simplificando um pouco mais a equação, temos
Um número dividido pela sua raiz, é igual a sua raiz, ou seja
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Encontramos que a variação de por unidade na direção de é igual a .
Mas espera aí, não estamos esquecendo nada?
Nosso foguete está equipado com motores supersônicos, isso faz com que ele viaja a uma velocidade de unidades de comprimento por segundo.
Se a taxa de variação segundo na direção é de , se estamos a de velocidade, essa taxa vai aumentar vezes, concorda?
Então a taxa em que a temperatura diminui na nave é de
Pela propriedade de potências, podemos fazer o seguinte
Com isso, vemos que a taxa de variação de temperatura muda muito rápido, o que é bom para o nosso querido Capitão.
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
