UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 11c.
11 - Determine o maior conjunto aberto no qual nos seguintes casos:
c) .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Para essa questão temos que obter o maior conjunto aberto quando , onde
Mas você sabe o que é um conjunto aberto?
Imagine que estamos em um barco e podemos andar por ele para todos os cantos, quando estamos parados no meio dele podemos nos movimentar para qualquer lado que ainda vamos estar dentro do barco, correto?
Agora se estivermos bem na beirada dele, se nos movimentarmos um pouquinho em direção a água, a gente se desequilibra e cai, não é?
Esses dois exemplos podem ser análogos a um conjunto onde quando estamos no meio do barco, estamos seguros e todos os pontos ao meu redor infinitesimal estão contidos dentro do barco, ou seja, estamos em um conjunto aberto. Já quando estamos na beira do barco estamos na iminência de cair, existe um espaço muito próximo a nós que não está contida no barco, portanto nesse caso não estamos fazendo parte de um conjunto aberto.
O enunciado nos disse que , então a gente calcula um dos dois e verifica para qual conjunto , ou faz parte de um conjunto aberto.
Bora para os cálculos!
Passo 2
Vamos calcular , primeiro derivando com relação a e depois derivando o resultado com relação a .
Para calcular essa derivada, temos que aplicar a regra da cadeia.
Aplicamos essa regra quando uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra, por exemplo
Onde
Com isso, a gente calcula
Onde
Sabemos q a derivada de é igual ao e a derivada do polinômio é feita derrubando a potência e subtraindo do expoente, então
Substituímos por de volta, então
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora precisamos derivar com relação a
se comporta como uma constante, então podemos tira-la da integral
Novamente devemos usar a regra da cadeia, onde
Organizando a resposta e substituindo por de volta, temos
O maior conjunto em que é aberto, será o maior conjunto no qual é definido.
Analisando , procurando algum conjunto no qual ela se torna indefinida vemos que não temos possíveis valores de que fazem ser indefinido. Ou seja
é aberto para quaisquer valores de .
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
