Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
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UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 12b.
12 - Se o potencial elétrico em um ponto do plano é então o vetor campo elétrico no ponto é . Suponha que .
b) Mostre que, em cada ponto no plano, o potencial elétrico decresce mais rapidamente na direção e sentido do vetor .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão, nos deram um potencial elétrico dado por . O campo elétrico gerado pelo potencial é obtido apartir do gradiente de , ou seja, .
Com isso, o principal objetivo é mostrar que o potencial elétrico diminui mais rapidamente na direção e sentido do campo elétrico.
No item a) dessa questão calculamos que o campo elétrico de , é dado por
Ok, mas como achamos a direção e o sentido em que o potencial elétrico diminui mais rapidamente?? 🤔🤔
De forma bem direta, a direção e o sentido em que o potencial diminui mais rapidamente será a direção e o sentido contrário em que o potencial cresce mais.
Com isso, podemos lembrar que a derivada direcional aponta para onde a função mais cresce, encontrando esse vetor, basta calcularmos a direção contraria a ele.
Entendeu? Bora provar que isso está certo!
Passo 2
Sabemos que uma derivada direcional cresce mais rápido na direção do seu vetor gradiente, ou seja
Onde é o nosso vetor direcional unitário.
Sabemos também que a função decresce mais rápido na direção e sentido contrário à , o qual vamos chamar de vetor , onde
Podemos provar que igualando as duas equações.
Se , então , igualando a , temos
Com isso, podemos definir alguns pontos e mostrar que a direção de é igual a , ou seja a direção do campo elétrico é a direção oposta de .
Passo 3
Por exemplo, no ponto
Calculando a direção e sentido em que possui a maior taxa de crescimento, temos
Neste ponto a direção contrária a é dada por onde
Perceba que pertence a , apenas pegamos uma direção diferente do gradiente.
Agora vamos mostrar que em o valor de está decrescendo. Pra isso vamos usar a definição no limite.
Mas que definição é essa?? Limite??
Relaxa, veja só!
Passo 4
Podemos escrever a derivada direcional como
Onde e são as coordenadas do ponto e e são as coordenadas de .
Substituindo as informações do passo anterior, temos
Simplificando os resultados, temos
Para resolver esse limite, não podemos substituir por por enquanto, já que isso vai zerar o denominador e o numerador.
Vamos aplicar um método poderosíssimo e muito eficiente, a regra de L’Hopital!
Passo 5
Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador do limite até desfazermos a indeterminação.
Derivando o numerador, temos
Derivando o denominador
Substituindo no limite, temos
Agora sim, substituindo por , temos
Ou seja, a derivada direcional é negativa. Isso significa que o potencial está decaindo a uma taxa de na direção de .
Se fizermos o mesmo procedimento para qualquer ponto, vamos encontrar um valor negativo, ou seja, de decrescimento.
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
O potencial elétrico decresce mais rapidamente na direção e sentido do vetor