UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 10a.
10 - Uma função com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace é dita harmônica. Qual das funções abaixo são harmônicas?
a) ;
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Para essa questão, foi dito que uma equação é considerada harmônica quando a Equação de Laplace é satisfeita.
A função que vamos verificar essa condição, é dada como
Ok, mas como vamos calcular essa Equação de Laplace?? 🤔🤔
A Equação de Laplace é formada delas derivadas parciais de segunda ordem das variáveis de , ou seja
, e
Quando a soma dessas derivações é igual a , a função é considerada harmônica.
Algo que pode nos confundir, é que a função foi dada como , onde é uma função de e . Porém , logo, , ou seja
Vamos começar a construir nossa equação? Me acompanhe!
Passo 2
Primeiro vamos encontrar a segunda derivada de com relação a , . Mas pra isso, precisamos encontrar a primeira derivada de com relação a
Por derivada de polinômios, o expoente cai multiplicando e é subtraído a . Como estamos derivando com relação a , a variável se comporta como uma constante.
Encontramos nossa primeira derivada como
O próximo passo é calcular a segunda derivada de com relação a , pra isso, vamos derivar com relação a .
Assim como a primeira derivada, vamos aplicar a derivação de polinômios e considerando como uma constante.
Com isso, encontramos a segunda derivada de com relação a , como
Entendeu?
Passo 3
Temos o primeiro valor da nossa equação. Agora vamos calcular a segunda derivada de com relação a .
Assim como fizemos em , vamos calcular a derivada de com relação a e apartir do resultado, derivar novamente com relação a .
Por derivação de polinômios e considerando como uma constante, temos
Com esse resultado, calculamos a segunda derivada
Novamente por derivação de polinômios e considerando como constante, obtemos
Ou seja, nosso segundo valor da equação é
Interessante, não?
Passo 4
Por fim, vamos obter nosso último valor da equação a segunda derivada de com relação a .
Pra isso, vamos calcular a primeira derivada.
Nesse caso, não depende de , logo as variáveis e são consideradas constantes. Como bem sabemos, a derivada de uma constante é , ou seja
Logo a segunda derivada de com relação a também é .
com isso, podemos substituir os valores que obtemos para a nossa equação
Como vimos
Substituindo esses valores na equação, temos
A soma das derivadas parciais de segunda ordem de é igual a , logo a função é harmônica!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
é harmônica.