UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 11b.
11 - Determine o maior conjunto aberto no qual nos seguintes casos:
b) ;
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Para essa questão, devemos determinar o maior conjunto aberto onde , onde
Ok, mas você sabe o que é um conjunto aberto?
Digamos que você tenha uma barra de ferro e coloque uma borracha em cima dessa barra em qualquer lugar que não seja nas extremidades. Quando fazemos isso, percebemos que a vizinhança da borracha também está em cima da barra.
Porém, quando colocamos a borracha na extremidade da barra de ferro, vemos que nem toda a vizinhança da borracha está em cima da barra.
É assim que podemos imaginar um conjunto aberto! Quando temos um ponto em um conjunto e todas as vizinhanças do ponto também estão contidas no conjunto, dizemos que o conjunto é aberto.
Já quando nem todas as vizinhanças do ponto estão contidas no conjunto, é porque o ponto não faz parte do conjunto aberto.
Com isso, o enunciado já nos disse que , vamos encontra-la e obter os valores que fazem ela ser aberta.
Entendeu? Bora para os cálculos! 😎
Passo 2
Vamos calcular , pra isso, vamos derivar com relação a e depois derivamos o resultado com relação a .
Aplicando a regra da cadeia, onde a derivada é dada pela derivada de dentro multiplicado pela derivada de fora, ou seja
Por derivação de polinômios
Substituindo por de volta, temos
A partir desse resultado, vamos derivar com relação a .
se comporta como uma constante, então podemos bota-la para fora da derivada
Aplicando a regra da cadeia novamente
Por derivada de polinômios
Organizando a resposta e substituindo por
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Para ou ser aberta, ela deve ser definida e analisando a função
Vamos escrever de outra forma
Vemos que não será definida se seu denominador for igual a e não fará parte do conjunto dos números reais se a raiz for de um número negativo.
Ou seja, tem que ser diferente de e não pode ser negativa.
Então podemos definir que ou é aberta se !
Escrevendo isso de forma mais didática, é o conjunto dos números , logo
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
