UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 14c.
14 - O capitão Astro está outra vez em perigo perto da órbita de Mercúrio. Ele está na posição , e a temperatura da blindagem de sua espaçonave num ponto é dada por graus.
c) Infelizmente, a blindagem da espaçonave se danificará se a taxa de variação da temperatura for inferior a graus/s. Que conjunto de possíveis direções ele pode tomar sem causar danos à sua espaçonave, a partir de , com a velocidade do item (b)?
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Continuando o drama vivido pelo nosso Capitão que está em perigo, já descobrimos a melhor direção para a nave seguir e qual será a taxa de variação da temperatura se ele seguir nessa direção.
Foi dito que se a taxa de variação de temperatura for menor que a nave será danificada.
Com isso, podemos dizer que não é necessário tomarmos a direção para sobreviver. Se a nave aguenta uma taxa de variação menos, podemos tomar direções diferentes.
Ok, mas como vamos encontrar esse conjunto de direções??
Vamos definir um vetor onde será a direção limite em que a nave pode seguir. Depois disso, vamos descobrir o ângulo que esse vetor faz com o vetor .
Entendeu? Bora ver!
Passo 2
Vamos usar a ideia da derivada direcional, onde ela nos diz a taxa de variação de em uma certa direção . Veja só
representa a taxa de variação, no caso e temos , então resta calcular seu módulo. Ou seja
Substituindo esse resultado em , temos
Mas espera aí!! Lembra que a nave viaja a unidades de comprimento por segundo?? Então, temos que adicionar esse valor no cálculo!
Seguindo as propriedades de potências
Com isso, vemos que
Entendeu o que fizemos?
Passo 3
Descobrimos que faz um ângulo com a direção do gradiente, cujo cosseno dele é . Que ângulo é esse??
Basta calcularmos seu
Ou seja, o ângulo máximo da direção em que a nave pode fazer com o vetor que calculamos no item a), é de !!
Então qualquer ângulo entre
Vai salvar nossa tripulação.
Agora é só avisar nosso capitão!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
