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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UFABC – Lista 4 – 2018.3 – 8c

Seja

f x , y = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2 ,   s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 ,   s e   x , y = ( 0,0 )

Mostre que ∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 = 1   e   ∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 = - 1

Passo 1

E aí, gente!! Bem, vamos encarar mais um exercício desses?! Então, aqui como vocês podem ver, vamos precisar calcular a derivada parcial da função quando ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) . Observe que vamos precisar fazer uma regra do quociente ali.

Pra facilitar nossa vida, podemos fazer a distributiva no numerador, porque aí fugimos de ter mais complicações na derivação.

f x , y = x 3 y - y 3 x x 2 + y 2

Depois de derivar, substituirmos os valores de x , y = ( 0,0 )

Passo 2

Derivando em função de x , vamos ter a regra do quociente, tal que:

∂ f ∂ x = x 3 y - y 3 x ' x 2 + y 2 - x 3 y - y 3 x x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = 3 x 2 y - y 3 x 2 + y 2 - ( x 3 y - y 3 x ) ( 2 x ) x 2 + y 2 2

Vamos melhorar o numerador!!

∂ f ∂ x = 3 x 4 y + 3 x 2 y 3 - x 2 y 3 - y 5 - ( 2 x 4 y - y 3 2 x 2 ) y 2 + x 2 2

∂ f ∂ x = - y y 4 - 4 x 2 y 2 - x 4 y 2 + x 2 2

Passo 3

Vamos agora calcular a derivada segunda, porém derivando em função de y

∂ f ∂ x = - y y 4 - 4 x 2 y 2 - x 4 y 2 + x 2 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y = - y - x y + x y 4 + 10 x 2 y 2 + x 4 y 2 + x 2 3

Vamos agora pensar no seguinte, se a gente já tacar o ponto x , y = ( 0,0 ) , percebemos que não dará 1 ou -1, né? Então vamos ter que dar uma olhada no algebrismo aí.

Fazendo a divisão do polinômio, temos:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 6 x 2 y 4 - 12 x 4 y 2 - 2 x 6 + 1

No ponto (0,0) ∂ 2 f ∂ x ∂ y = 1

Passo 4

Vamos agora fazer a derivada parcial em relação a y . Note que de maneira semelhante vamos aplicar a regra do quociente, certo?

∂ f ∂ y = x 3 y - y 3 x ' x 2 + y 2 - x 3 y - y 3 x x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = x 3 - 3 y 2 x x 2 + y 2 - x 3 - 3 y 2 x 2 y x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = - x y 4 + 4 x 2 y 2 - x 4 x 2 + y 2 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x = - x - y y + x y 4 + 10 x 2 y 2 + x 4 y 2 + x 2 3

Aplicando ao ponto, temos:

∂ 2 f / ∂ y ∂ x   0,0 = - 1  

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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