UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 13c.
13 - A equação
onde é uma constante positiva, é chamada equação de onda. Sejam e funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
c) Confirme que satisfaz a equação da onda com , e então use identidades trigonométricas apropriadas para expressar essa função na forma .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Foi dada uma equação que chamaram de “equação de onda”, onde
Aí você para e pensa: “que negócio cabuloso é esse??!”
Calma, vou te explicar.
A equação da onda é obtida a partir de uma função onde a segunda derivada de com relação a é igual a uma constante ao quadrado multiplicado pela segunda derivada de com relação a .
No caso foi dada uma função , onde
O objetivo dessa questão é verificar se satisfaz a equação da onda quando e depois escrever como
Entendeu? Bora para os cálculos!
Passo 2
A primeira coisa é verificar se satisfaz a equação da onda, pra isso vamos calcular as derivadas de segunda ordem com relação a e .
Primeiro derivamos com relação a
Nesse caso, se comporta como uma constante e a derivada do é o
Vamos derivar o resultado novamente para obter a derivada de segunda ordem
Novamente se comporta como uma constante e a derivada do é
Tranquilo?
Passo 3
Agora vamos obter as derivadas de com relação a
Agora é a vez de se comportar como uma constante e como vimos antes, a derivada do é .
Vamos derivar o resultado novamente para obter a derivada de ordem 2.
Novamente sai fora da derivada e a derivada do é igual a
Encontramos as duas derivadas de segunda ordem de , bora ver se a equação da onda foi satisfeita?
Passo 4
Substituindo os valores que calculamos anteriormente em
Para , temos
Vemos que a equação da onda é satisfeita!
Por fim, temos que lembrar de uma identidade trigonométrica para escrever como
Se , é o produto entre dois senos, lembre-se que
Usando essa propriedade, podemos escrever
Fazendo a multiplicação de
Com isso vemos que
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
satisfaz