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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 7c.

7 - Determine f x x , f x y , f y x e f y y para cada uma das seguintes funções:

c) f x , y = x 2 y 2 e 2 x y

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Não teve muito mistério no enunciado da questão, foi dado fuma função f x , y = x 2 y 2 e 2 x y e nos pediram pra calcular f x x , f x y , f y x e f y y .

Mas talvez você se pergunte: “o que são f x x , f x y , f y x e f y y ??” 🤔

Relaxa, é mais simples do que parece!

Lembra que pra representar uma derivada parcial de uma função, ao invés de escrevermos ∂ f ∂ x , passamos a escrever f x por ser mais prático. A ideia aqui é a mesma, a diferença é que f x x representa a segunda derivada de f com relação a x . f x y representa a derivada de f em relação a y da derivada parcial de f em relação a x e assim por diante.

Essas representações são uma maneira mais pratica de escrever, por exemplo

∂ 2 f ∂ x 2 = f x x ;   ∂ 2 f ∂ x ∂ y = f x y ;   ∂ 2 f ∂ y ∂ x = f y x ; ∂ 2 f ∂ y 2 = f y y

Percebeu como a representação é mais prática?

Então vamos ver na prática!

Passo 2

Primeiro, podemos calcular f x para depois obter f x x e f x y

Para calcular f x , vamos ter que mesclar dois métodos de derivação, a regra da cadeia e a regra do produto.

Observe que temos f x , y = g x , y · h k x , y , onde g x , y = x 2 y 2 e h k x , y é uma função composta onde h k x , y = e 2 x y e k x , y = 2 x y .

A regra do produto diz o seguinte: “a derivada de f tal que f = g · h é igual a derivada de g multiplicado por h mais g multiplicado pela derivada de h ”. Ou se preferir

f ' = g ' · h + g · h '

Porem em h ' vamos ter a derivada de uma função composta, então nesse momento temos que usar a regra da cadeia para calcularmos a derivada de h .

A regra do produto diz o seguinte: “a derivada de uma função composta é calculada a partir da derivada da função de dentro multiplicado pela função de fora”. ou de preferir

h ' = k ' · h ' u

Agora sim podemos começar!

Primeiro calculando f x , temos

f x = ∂ f ∂ x = ∂ ( x 2 y 2 e 2 x y ) ∂ x

Aplicando a regra do produto, temos

∂ ( x 2 y 2 e 2 x y ) ∂ x = ∂ ( x 2 y 2 ) ∂ x e 2 x y + x 2 y 2 ∂ ( e 2 x y ) ∂ x

Em ∂ ( e 2 x y ) ∂ x temos que aplicar a regra da cadeia, onde

∂ ( e 2 x y ) ∂ x = ∂ ( 2 x y ) ∂ x · ∂ ( e u ) ∂ u

Substituindo essa informação na regra do produto, onde u = 2 x y , temos

f x = ∂ ( x 2 y 2 ) ∂ x e 2 x y + x 2 y 2 ∂ ( 2 x y ) ∂ x · ∂ ( e u ) ∂ u

f x = 2 x y 2 e 2 x y + x 2 y 2 2 y e 2 x y

Simplificando um pouco mais a equação, temos

f x = 2 x y 2 e 2 x y + 2 x 2 y 3 e 2 x y

f x = ( 2 x y 2 + 2 x 2 y 3 ) e 2 x y

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Com f x calculado, podemos calcular f x x . Essa função nada mais é que a derivada de f x com relação a x , ou seja

f x x = ∂ f x ∂ x = ∂ 2 x y 2 + 2 x 2 y 3 e 2 x y ∂ x

Novamente vamos usar o misto entre a regra do produto e a regra da cadeia, onde

∂ 2 x y 2 + 2 x 2 y 3 e 2 x y ∂ x = ∂ 2 x y 2 + 2 x 2 y 3 ∂ x e 2 x y + 2 x y 2 + 2 x 2 y 3 ∂ e 2 x y ∂ x

A regra da cadeia será aplicada em

∂ e 2 x y ∂ x = ∂ 2 x y ∂ x · ∂ e u ∂ u

Substituindo essa informação em f x x , onde u = 2 x y , temos

f x x = ∂ 2 x y 2 + 2 x 2 y 3 ∂ x e 2 x y + 2 x y 2 + 2 x 2 y 3 ∂ 2 x y ∂ x · ∂ e u ∂ u

f x x = 2 y 2 + 4 x y 3 e 2 x y + 2 x y 2 + 2 x 2 y 3 2 y e 2 x y

Organizando um pouquinho mais, temos

f x x = 2 y 2 + 4 x y 3 e 2 x y + 4 x y 3 + 4 x 2 y 4 e 2 x y

f x x = 4 x 2 y 4 + 8 x y 3 + 2 y 2 e 2 x y

Difícil?

Passo 4

O próximo passo é calcular f x y , pra isso vamos derivar f x com relação a y

f x y = ∂ f x ∂ y = ∂ 2 x y 2 + 2 x 2 y 3 e 2 x y ∂ y

Pra resolver essa derivada vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia ao mesmo tempo, novamente.

∂ 2 x y 2 + 2 x 2 y 3 e 2 x y ∂ y = ∂ 2 x y 2 + 2 x 2 y 3 ∂ y e 2 x y + 2 x y 2 + 2 x 2 y 3 ∂ e 2 x y ∂ y

Assim como em f x x , agora temos que aplicar a regra da cadeia em ∂ e 2 x y ∂ y , onde

∂ e 2 x y ∂ y = ∂ 2 x y ∂ y · ∂ e u ∂ u

Substituindo essa informação em f x y , onde u = 2 x y

f x y = ∂ 2 x y 2 + 2 x 2 y 3 ∂ y e 2 x y + 2 x y 2 + 2 x 2 y 3 ∂ 2 x y ∂ y · ∂ e u ∂ u

f x y = 4 x y + 6 x 2 y 2 e 2 x y + 2 x y 2 + 2 x 2 y 3 2 x e 2 x y

Organizando nossa equação um pouquinho

f x y = 4 x y + 6 x 2 y 2 e 2 x y + 4 x 2 y 2 + 4 x 3 y 3 e 2 x y

f x y = 4 x 3 y 3 + 10 x 2 y 2 + 4 x y e 2 x y

Está acompanhando?

Passo 5

Chegamos na metade! Agora vamos calcular f y para depois encontrarmos f y x e f y y .

f y = ∂ f ∂ y = ∂ x 2 y 2 e 2 x y ∂ y

Como de praxe, vamos mesclar a regra do produto com a regra da cadeia novamente.

∂ x 2 y 2 e 2 x y ∂ y = ∂ x 2 y 2 ∂ y e 2 x y + x 2 y 2 ∂ e 2 x y ∂ y

A regra da cadeia para ∂ e 2 x y ∂ y , será

∂ e 2 x y ∂ y = ∂ 2 x y ∂ y · ∂ e u ∂ u

Substituindo essas informações na regra do produto para u = 2 x y

f y = ∂ x 2 y 2 ∂ y e 2 x y + x 2 y 2 ∂ 2 x y ∂ y · ∂ e u ∂ u

f y = 2 x 2 y e 2 x y + x 2 y 2 2 x e 2 x y

Organizando nossa equação e pondo e 2 x y em evidência, temos

f y = 2 x 2 y + 2 x 3 y 2 e 2 x y

Estamos chegando na reta final!

Passo 6

Com f y em mãos, vamos calcular f y x derivando f y com relação a x

f y x = ∂ f y ∂ x = ∂ 2 x 2 y + 2 x 3 y 2 e 2 x y ∂ x

Aplicando a regra do produto, temos

∂ 2 x 2 y + 2 x 2 y 3 e 2 x y ∂ x = ∂ 2 x 2 y + 2 x 3 y 2 ∂ x e 2 x y + 2 x 2 y + 2 x 3 y 2 ∂ e 2 x y ∂ x

Como já calculamos anteriormente ∂ e 2 x y ∂ x = 2 y e 2 x y pela regra da cadeia, podemos substituir direto.

f y x = 4 x y + 6 x ² y 2 e 2 x y + 2 x 2 y + 2 x 3 y 2 2 y e 2 x y

Organizando nossa equação e botando e 2 x y em evidência, temos

f y x = 4 x y + 6 x ² y 2 e 2 x y + 4 x 2 y 2 + 4 x 3 y 3 e 2 x y

f y x = 4 x 3 y 3 + 10 x 2 y 2 + 4 x y e 2 x y

Estamos ficando craques já!

Passo 7

Por fim, vamos calcular f y y derivando f y com relação a y .

f y y = ∂ f y ∂ y = ∂ 2 x 2 y + 2 x 3 y 2 e 2 x y ∂ y

Vamos aplicar a regra do produto, onde

∂ 2 x 2 y + 2 x 3 y 2 e 2 x y ∂ y = ∂ 2 x 2 y + 2 x 3 y 2 ∂ y e 2 x y + 2 x 2 y + 2 x 3 y 2 ∂ e 2 x y ∂ y

Pela regra da cadeia, já calculamos ∂ e 2 x y ∂ y antes, onde obtemos

∂ e 2 x y ∂ y = 2 x e 2 x y

Substituindo essas informações em f y y , temos

f y y = ∂ 2 x 2 y + 2 x 3 y 2 ∂ y e 2 x y + 2 x 2 y + 2 x 3 y 2 2 x e 2 x y

f y y = 2 x 2 + 4 x 3 y e 2 x y + 4 x 3 y + 4 x 4 y 2 e 2 x y  

Organizando nossa equação e botando e 2 x y em evidência, temos

f y y = 2 x 2 + 8 x 3 y + 4 x 4 y 2 e 2 x y

Terminamos! Encontramos f x x , f x y , f y x e f y y !

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f x x = 4 x 2 y 4 + 8 x y 3 + 2 y 2 e 2 x y

f x y = 4 x 3 y 3 + 10 x 2 y 2 + 4 x y e 2 x y

f y x = 4 x 3 y 3 + 10 x 2 y 2 + 4 x y e 2 x y

f y y = 2 x 2 + 8 x 3 y + 4 x 4 y 2 e 2 x y

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