UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 5b.
5 - Determine a derivada direcional máxima de em e a direção em que isto ocorre:
b) , .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Para resolver essa questão, temos que responder duas perguntinhas:
Qual é a derivada direcional máxima de no ponto ? Qual direção ela está?
Para responder essa pergunta, o enunciado nos deu duas informações: a função e ponto .
Mas antes, ta ligado o que é uma derivada direcional?
Bem... de forma mais direta, a derivada direcional representa a taxa na qual a função está variando instantaneamente em um ponto.
No caso de calcular a derivada direcional máxima, temos um teorema que é fundamental pra calcular .
Esse teorema diz o seguinte: “O valor máximo da derivada direcional de uma função diferenciável é e ocorre quando tem a mesma direção e sentido que .”
Com esse teorema, conseguimos resolver esse probleminha sem grandes dificuldades, já que já temos a derivada direcional máxima
Calculamos o vetor gradiente de e substituímos as variáveis pelas coordenadas do ponto .
Compreendeu? Vamos por a mão na massa! 😉
Passo 2
Vamos passo a passo para construir nossa resolução.
Antes de tudo, vamos usar uma propriedade de raízes que vai facilitar nossa vida na hora de calcular o gradiente de . Temos
Podemos separar as raízes da seguinte maneira
O raiz de um produto é igual o produto das raízes. Agora sim começamos.
Primeiro vamos calcular o gradiente de . Lembra como faz isso?
Calculando a derivada parcial de com relação a , temos
e se comportam como constantes, então podem sair da derivação
Calculando a derivada parcial de com relação a , temos
e se comportam como constantes, então podem sair da derivação
Calculando a derivada parcial de com relação a , temos
e se comportam como constantes, então podem sair da derivação
Está acompanhando?
Passo 3
Agora o que temos que fazer é substituir as coordenadas do ponto nas variáveis , e do nosso gradiente.
e
O gradiente em será
Por fim, como determina o teorema, a derivada direcional máxima de é dada pelo modulo do vetor gradiente no ponto , ou . Portanto
O modulo de um vetor é calculado a partir da raiz da soma dos seus componentes ao quadrado, veja só
Certo! e qual a direção dessa derivada direcional?
Assim como dito no teorema, o valor máximo da derivada direcional é obtido quando sua direção for a mesma do vetor gradiente. Ou seja
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
