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Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

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Enunciado

UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 15.

15 - Se u e v são funções das variáveis x e y de classe C 2 , e satisfazem as equações de CauchyRiemann

∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = - ∂ v ∂ x

mostre que u e v são harmônicas.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos duas funções que chamamos de u e v que são de classe C 2 e satisfazem as igualdades

∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y

E

∂ u ∂ y = - ∂ v ∂ x

Essas igualdades são as que chamamos de equações de CauchyRiemann.

Você deve estar se perguntando “como essas informações vai me ajudar a resolver esse problema?”

Eu também me perguntaria a mesma coisa!

Mas relaxa, olha só!

Foi dito que u e v são da classe C 2 , não é?

Com isso podemos usar uma propriedade que diz que

∂ u ∂ x ∂ y = ∂ u ∂ y ∂ x e ∂ v ∂ x ∂ y = ∂ v ∂ y ∂ x

A partir dessa ideia, vamos mostrar que u e v são harmônicas, ou seja

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

Ainda está um pouco confuso? vamos para a pratica que vamos compreender melhor.

Passo 2

O segredo é manipular as equações de CauchyRiemann para obtermos a relação harmônica.

Vamos dar uma olhada em

∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y

Se derivarmos com relação a x , temos

∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ 2 v ∂ y ∂ x

Vamos fazer o mesmo para a igualdade

∂ u ∂ y = - ∂ v ∂ x

Derivando em relação a x , vamos ter

∂ 2 u ∂ y ∂ x   = - ∂ 2 v ∂ x 2

Está entendendo até aqui? 👀

Passo 3

Já encontramos a derivada segunda de v e u com relação a x , vamos obter para y

∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y

Derivando em relação a y , temos

∂ 2 u ∂ x ∂ y = ∂ 2 v ∂ y 2

Vamos ver para a outra igualdade

∂ u ∂ y = - ∂ v ∂ x

Derivando em relação a y

∂ 2 u ∂ y 2 = - ∂ 2 v ∂ x ∂ y  

Nada de especial, não é?

Passo 4

Aqui vamos utilizar uma propriedade que é a chave da solução da nossa questão!

Como vimos antes, uma função harmônica é dada como

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

Como obtemos anteriormente

∂ 2 u ∂ x ∂ y = ∂ 2 v ∂ y 2

E também

∂ 2 u ∂ y ∂ x   = - ∂ 2 v ∂ x 2 → ∂ 2 v ∂ x 2 = - ∂ 2 u ∂ y ∂ x  

Substituindo essas igualdades na função harmônica, temos

∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = - ∂ 2 u ∂ y ∂ x   + ∂ 2 u ∂ x ∂ y

E se ∂ u ∂ x ∂ y = ∂ u ∂ y ∂ x por ser de classe C 2 , logo

∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = 0

Interessante, não é? 🤩

Passo 5

Já para a função u , temos

∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ 2 v ∂ y ∂ x ,     ∂ 2 u ∂ y 2 = - ∂ 2 v ∂ x ∂ y  

Substituindo na equação harmônica

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = ∂ 2 v ∂ y ∂ x + - ∂ 2 v ∂ x ∂ y  

v é de classe C 2 também, então

∂ v ∂ x ∂ y = ∂ v ∂ y ∂ x

Logo

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Fala a verdade, foi mais tranquilo que imaginou, não foi?

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = 0

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

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