UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 5a.
5 - Determine a derivada direcional máxima de em e a direção em que isto ocorre:
a, ;
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Para essa questão, nos deram uma função e um ponto . O objetivo principal da questão é responder as seguintes perguntas:
Qual é a derivada direcional máxima de no ponto ? Qual direção ela está? 🤔
Mas antes, ta ligado o que é uma derivada direcional?
Bem, de forma mais direta, a derivada direcional representa a taxa na qual a função está variando instantaneamente em um ponto. Mas para isso precisamos de uma direção, com isso vem a pergunta “qual a direção ocorre a derivada direcional máxima?”.
Para responde-la, temos um teorema que diz o seguinte:
“O valor máximo da derivada direcional de uma função diferenciável é e ocorre quando tem a mesma direção e sentido que .”
Com esse teorema, conseguimos resolver esse probleminha sem grandes dificuldades, já que já temos a derivada direcional máxima
Calculamos o vetor gradiente de e substituímos as variáveis pelas coordenadas do ponto .
Entendeu? Bora para os cálculos então!
Passo 2
Vamos com calma, parte a parte a gente chega lá.
Primeiro vamos calcular o gradiente de . Lembra como faz isso?
Calculando a derivada parcial de com relação a , temos
A derivada parcial de com relação a será
Já a derivada parcial de com relação a será
Assim nosso vetor gradiente é dado por
Tranquilo até aqui?
Passo 3
O próximo passo é substituir as coordenadas do ponto no nosso vetor gradiente, substituindo por , por e por .
Por fim, como determina o teorema, a derivada direcional máxima de é dada pelo modulo do vetor gradiente no ponto , ou . Portanto
O modulo de um vetor é calculado a partir da raiz da soma dos seus componentes ao quadrado, veja só
Beleza, e qual a direção dessa derivada direcional?
Assim como dito no teorema, o valor máximo da derivada direcional é obtido quando sua direção for a mesma do vetor gradiente. Ou seja
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
