UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 4 - Gradiente, Derivada Direcional e Derivadas Parciais de Ordem Superior. Questão 3a.
3 - Determine a derivada direcional de em na direção do vetor :
a) , , ;
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Essa é uma clássica questão de derivada direcional, no enunciado foi dada a função , o ponto e o vetor direcional .
A derivada direcional de uma função de várias variáveis diferenciável ao longo de um dado vetor em um dado ponto intuitivamente representa a taxa instantânea de variação da função.
Beleza, sabemos pra que serve uma derivada direcional, mas como vamos calcula-la?? 🤔
Existe uma formulinha para se calcular a derivada direcional de uma função, em um ponto e em uma determinada direção. Dada por
A derivada direcional será o produto interno do gradiente de no ponto com o vetor unitário. e são as coordenadas do ponto .
Bora para os cálculos?
Passo 2
Vamos construindo nossa derivada direcional.
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de
se comporta como uma constante e a derivada de , logo
Com relação a
se comporta como uma constante e a derivada de , logo
O próximo passo é substituir as coordenadas do ponto em nossas derivadas parciais, onde , substituímos e .
O mesmo com a derivada parcial em
Tranquilo até agora?
Passo 3
Agora, a gente calcula o vetor em sua forma unitária. Sabe como fazemos isso?
Um vetor unitário é calculado dividindo ele mesmo pelo seu módulo, ou seja, dividimos ele mesmo pelo seu tamanho.
O módulo de é dado pela raiz da soma do quadrado das suas coordenadas, ou seja
Dessa forma unitário será
Por fim, substituímos nossos resultados da formulinha da derivada direcional
Lembra como se calcula produto interno? Não é difícil, é basicamente o produto dos primeiros termos somados ao produto dos segundos termos.
Encontramos nossa derivada direcional no ponto na direção !
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
