Determine o domínio e resolva em a seguinte desigualdade:
Passo 1
Vamos começar determinando o domínio. Não podemos ter divisão por zero, então precisamos que:
Essa é a nossa única restrição nesse caso, então teremos:
Passo 2
Determinado o domínio, vamos olhar para nossa inequação. A melhor coisa a fazer para não ter erro, é isolar tudo de um lado e determinar o MMC. Então vamos fazer isso:
Vamos distribuir o numerador para simplificar:
Ficando:
Passo 3
Agora vamos fatorar o numerador para separar tudo em termos. Temos no numerador uma equação na forma:
Com:
Sendo:
Substituindo os valores:
Essa raiz com número negativo indica que não temos raiz real, logo, temos que deixar nessa forma mesmo:
E o numerador vai ser sempre positivo, ou sempre negativo. Para saber o sinal, vamos substituir qualquer valor, como :
Logo:
Para todo e podemos desconsiderar na hora de montar a nossa tabela.
Passo 4
Temos que nossa inequação equivalente será:
Com termos de raízes:
Então criamos cada um dos intervalos:
Assim, colocamos o intervalo na primeira linha da tabela e os termos na primeira coluna:
Passo 5
Montada a tabela, testamos os sinais de cada termo para cada intervalo. Para o primeiro, queremos . satisfaz, então substituímos:
Assim, teremos:
Para agora, temos que satisfaz. Então:
Assim:
Quase lá, falta . Para esse intervalo, temos que satisfaz. Então:
Assim:
Passo 6
Com os sinais determinados, vamos criar uma nova linha com o sinal equivalente que será o sinal da nossa inequação. Para determinar o sinal equivalente, usamos a regrinha dos sinais:
Assim, vamos ter:
Passo 7
Então, para nossa inequação equivalente:
queremos , então nos interessam os intervalos em que temos o sinal de . Isso corresponde aos intervalos e . Assim, temos:
Ou então: