Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

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Enunciado

Resolva a inequação a seguir e apresente o quadro de sinais e os possíveis valores de x.

x 2 - 3 x - 4 x - 2 < 0

Passo 1

Vamos lá!! Temos nessa questão uma inequação envolvendo um produto entre termos:

f x g x < 0

Onde

f x = x 2 - 3 x - 4

g x = x - 2

Vamos encontrar as raízes de cada uma dessas funções e montar a tabelinha marota para estudar os sinais?!

Passo 2

Vamos encontrar as raízes de cada uma das funções!

Para encontrarmos as raízes da equação

x 2 - 3 x - 4 = 0

Utilizaremos a fórmula de Bhaskara

x = - b ± ∆ 2 a

Beleza?!

Primeira coisa que precisamos fazer é identificar quem é o a , b e c . Lembra da carinha da nossa equação do 2º grau? Ela tem essa carinha aqui

a x 2 + b x + c = 0

Então, comparando com a nossa equação

x 2 - 3 x - 4 = 0

Conseguimos encontrar os valores de a , b e c :

a = 1

b = - 3

c = - 4

Beleza?! Agora vamos utilizar esses valores para encontrar o :

∆ = b 2 - 4 a c

Substituindo os valores a = 1 , b = - 3 e c = - 4 , temos

∆ = - 3 2 - 4 1 - 4

Fazendo as continhas, temos

∆ = 9 + 16

∆ = 25

Agora podemos substituir o valor de ∆ = 25 e os demais valores na fórmula de Bhaskara:

x = - - 3 ± 25 2 1

x = 3 ± 5 2

Teremos então duas raízes:

x 1 = 3 + 5 2 = 8 2 = 4

E

x 2 = 3 - 5 2 = - 2 2 = - 1

Portanto, as raízes da equação são 4 e - 1 !

Visualmente, teríamos

Beleeeza?!

Passo 3

Agora precisamos encontrar a raíz da função

g x = x - 2

Para isso, iremos igualar a função a 0

x - 2 = 0

E passar o - 2 para o outro lado

x = 2

O esboço seria

Passo 4

A partir desses valores, vamos montar a tabelinha para estudar os sinais:

Agora fazendo o estudo dos sinais, teremos

Como queremos

x 2 - 3 x - 4 x - 2 < 0

Vamos selecionar os intervalos aonde o sinal é positivo! Assim, nosso conjunto solução é

S = x ∈ R | x < - 1   o u   2 < x < 4

Resposta

S = x ∈ R | x < - 1   o u   2 < x < 4

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