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Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

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Enunciado

UFF, Cálculo IA-Lista 1, GMA, 2008-1, 10

Resolva a inequação:

x 2 - 7 x + 10 - x 2 + 9 x - 18 ≤ 0

Passo 1

Pra começar vamos achar as raízes das equações do segundo grau que está no numerador e analisar o sinal dessa função.

x 2 - 7 x + 10 = 0

x = 7 ± 9 2

x ' = 5

x ' ' = 2

Como o coeficiente de x ² é positivo, temos uma parábola de concavidade para cima cujas raízes são 2 e 5 . Portanto:

x 2 - 7 x + 10   é   n e g a t i v o   q u a n d o :   2 < x < 5

x 2 - 7 x + 10   é   p o s i t i v o   q u a n d o :   x < 2   o u   x > 5

Passo 2

Agora faremos o mesmo para a equação do denominador.

- x 2 + 9 x - 18 = 0

x = - 9 ± 9 - 2

x ' = 3

x ' ' = 6

Essa parábola tem concavidade para baixo, portanto:

- x 2 + 9 x - 18   é   n e g a t i v o   q u a n d o :   x < 3   o u   x > 6

- x 2 + 9 x - 18   é   p o s i t i v o   q u a n d o :   3 < x < 6

Passo 3

Pra terminar, faremos o quadro de sinais.

Finalmente podemos concluir que

x 2 - 7 x + 10 - x 2 + 9 x - 18 ≤ 0

quando

x ≤ 2   o u   3 < x ≤ 5   o u   x > 6

Como essa resposta é muito grande, fica mais fácil escrever ela dessa maneira:

- ∞ , 2 ⋃ ( 3 ,   5 ] ⋃ ( 6 ,   ∞ )

Resposta

- ∞ , 2 ⋃ ( 3 ,   5 ] ⋃ ( 6 ,   ∞ )

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