Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

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Enunciado

Estude o sinal das expressões abaixo:

b ) 2 x - 3 ( 1 - x ) ( 1 - 2 x )  

Passo 1

E aii, galerinha!! Como estão? Vamos juntos pra mais uma!!

Pessoal a questão quer que falemos sobre como se comporta o sinal da nossa expressão algébrica em relação aos possíveis valores de x . Humm, por onde vocês acham que começamos primeiro?

Passo 2

Gente, minha dica é desmembrar a expressão e analisar de início cada parte separadamente e por fim, iremos visualizar como cada uma dessas partes contribui para o todo dentro da expressão. A nossa expressão é a seguinte : 2 x - 3 ( 1 - x ) ( 1 - 2 x )

Vamos analisar primeiro o numerador da expressão: 2 x - 3 , temos aqui uma função linear do tipo a x + b certo?? Vamos montar então o esboço da nossa função linear:

Isso significa que para todo x > 3 2 , a imagem da função linear será positiva. E além disso, para todo x < 3 2   a imagem da função será negativa.

Passo 3

Agora vamos fazer a mesma coisa para o denominador da fração: ( 1 - x ) ( 1 - 2 x ) . Note que no denominador agora temos um produto de funções lineares do tipo a x + b , iremos então encontrar primeiro a função do 2 º grau gerada pelo produto dessas funções lineares iniciais.

( 1 - x ) ( 1 - 2 x ) =   1 - 3 x + 2 x ²

Agora que encontramos a nossa função do 2 º grau do tipo a x ² + b x + c , vamos fazer o esboço do gráfico. Lembrando que o gráfico de uma função do 2 º grau é uma parábola.

Logo, temos que a imagem só será negativa no intervalo 1 2   <   x < 1 .

Passo 4

Agora vamos juntar em um esboço só as conclusões dos passos anteriores.

Fazendo o jogo de sinal entre o numerador e o denominador para cada intervalo, descobrimos que a imagem da expressão só será positiva apenas quando 1 2   <   x <   1   o u   x   >   3 2 .

E aí, tranquilinho?? Bora fazer mais umas então!

Bons Estudos!

Resposta

A imagem da expressão só será positiva apenas quando 1 2   <   x <   1   o u   x   >   3 2 .

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