Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

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Enunciado

Encontrar todos os números reais x tais que:

1 x + 1 1 - x > 0

Passo 1

Para resolver esse problema, vamos juntar as duas frações por meio do MMC:

1 x - 1 1 - x = 1 - x + x x 1 - x = 1 x 1 - x

Assim, vamos ter:

1 x 1 - x > 0

Passo 2

Agora, vamos verificar o sinal de cada termo por meio de tabela. Para isso, determinamos as raízes:

x = 0

1 - x ⟹ x = 1

Passo 3

Encontradas as raízes, criamos intervalos entre cada uma delas. Neste caso teremos:

x < 0

0 < x < 1

x > 1

Colocamos esses intervalos na primeira linha e os termos na primeira coluna da tabela:

Passo 4

Montada a tabela, testamos os sinais de cada termo para cada intervalo. Para o primeiro, queremos x < 0 . x = - 1 satisfaz, então substituímos:

x ⟹ - 1 < 0

1 - x ⟹ 1 - - 1 = 1 + 1 = 2 > 0

Assim, teremos:

Para 0 < x < 1 agora, temos x = 1 / 4 que satisfaz. Então:

x ⟹ 1 4 > 0

1 - x ⟹ 1 - 1 4 = 3 4 > 0

Assim:

Quase lá, falta x > 1 . Para esse intervalo, temos x = 2 que satisfaz. Então:

x ⟹ 2 > 0

1 - x ⟹ 1 - 2 = - 1 < 0

Assim:

Passo 5

Com os sinais determinados, vamos criar uma nova linha com o sinal equivalente que será o sinal da nossa inequação. Para determinar o sinal equivalente, usamos a regrinha dos sinais:

- - ⟹ +

- + ⟹ -

+ - ⟹ -

Assim, teremos:

Passo 6

Então, como vimos antes nossa inequação equivalente é:

1 x 1 - x > 0

Logo, como temos > 0 , nos interessam os intervalos em que temos o sinal de ( + ) que corresponde ao intervalo 0 < x < 1 . Assim:

S = x ∈ R : 0 < x < 1

Ou então:

S = x ∈ R : x ∈ 0,1

Resposta

S = x ∈ R : x ∈ 0,1

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