Determine o domínio e resolva em a seguinte desigualdade:
Passo 1
Vamos começar determinando o domínio. Não podemos ter divisão por zero, então precisamos que:
Para determinar esses pontos, vamos calcular as raízes. Para o polinômio de segundo grau, temos uma equação correspondente:
Que é uma equação na forma:
Com:
Sendo:
Substituindo os valores:
Assim, para cada sinal:
Logo, podemos reescrever tudo na forma:
Logo, precisamos que:
Essa é a nossa única restrição nesse caso, então teremos:
Passo 2
Determinado o domínio, vamos olhar para nossa inequação. A melhor coisa a fazer para não ter erro, é isolar tudo de um lado e determinar o MMC. Então vamos fazer isso:
Vamos simplificar o numerador. Distribuindo:
Ficando:
Ficando então:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o polinômio de cima, para deixar tudo em termos. Temos uma equação correspondente:
Que é uma equação na forma:
Com:
Sendo:
Substituindo os valores:
Como temos um número negativo na raiz, não temos raízes reais e será sempre positivo ou negativo. Para saber, testamos qualquer valor, como , por exemplo:
Logo, será sempre positivo e podemos ignorar na hora de fazer nossa tabela, pois não vai alterar o sinal.
Passo 4
Temos então a seguinte inequação equivalente:
Com termos de raízes:
Então criamos cada um dos intervalos:
Assim, colocamos o intervalo na primeira linha da tabela e os termos na primeira coluna:
Passo 5
Montada a tabela, testamos os sinais de cada termo para cada intervalo. Para o primeiro, queremos . satisfaz, então substituímos nos termos:
Assim, teremos:
Para agora, temos que satisfaz. Então:
Assim:
Para agora, temos que satisfaz. Então:
Assim:
Quase lá, falta . Para esse intervalo, temos que satisfaz. Então:
Assim:
Passo 6
Com os sinais determinados, vamos criar uma nova linha com o sinal equivalente que será o sinal da nossa inequação. Para determinar o sinal equivalente, usamos a regrinha dos sinais:
E vamos operar dois a dois para não ter erro. Para cada uma das colunas da esquerda para direita:
Assim, vamos ter:
Passo 7
Então, para nossa inequação equivalente:
queremos , então nos interessam os intervalos em que temos o sinal de . Isso corresponde aos intervalos e . Assim, temos:
Ou então: