Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

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Enunciado

Resolva as inequações:

d) 2 x - 1 x + 1 < 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente resolver a inequação que ele nos deu. Repare que temos um quociente de equações formando essa desigualdade.

E quando temos um produto ou um quociente na inequação precisamos fazer a análise de sinal de termo para satisfazer a condição da desigualdade.

Além disso, quando temos um quociente, precisamos tirar o valor de x faz o denominador ser zero. Depois montamos o quadro de sinais, colocando na primeira linha e na primeira coluna a função que nós vamos analisar e nas linhas seguintes, as expressões que compõem essa função.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa inequação é dada por:

2 x - 1 x + 1 < 0

O primeiro termo é 2 x - 1 e o segunto termo é x + 1 . Para o primeiro, sua raiz será:

2 x - 1 = 0 → 2 x = 1

x = 1 2

E no segunto termo, teremos a raiz:

x + 1 = 0 → x = - 1

Como o x é positivo em ambas as funções, ela será crescente e terá valores negativos antes da raiz e terá valores positivos depois. Então, juntando isso no quadro de sinais, temos:

Recapitulando: que nós fizemos foi colocar a função junto com as expressões que a compõe na primeira coluna. Verificamos que por x ser positivo em amabas as expressões, o sinal será negativo antes das raízes e positivo depois. E por fim, fizemos o jogo de sinais na primeira linha (sinais diferentes →   - , sinais iguais → + ).

Só falta um detalhe importante. Como esse é um quociente, o denominador não pode zerar. Isso significa que ele não vai poder assumir o valor da raiz - 1 ( x ≠ - 1 ).

Como nossa condição é de que a função seja menor que zero, ou seja, negativa ( 2 x - 1 x + 1 < 0 ), nossa solução será a parte da tabela onde temos o sinal negativo na primeira linha. Assim, temos:

- 1 < x < 1 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- 1 < x < 1 2

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