Determine o domínio e resolva a seguinte inequação em :

Agora, vamos resolver a inequação. Para isso, vamos fatorar o polinômio.

Temos aqui uma inequação cubica que não sabemos as raízes logo de cara. Geralmente, neste tipo de problema, dá para “chutar” pelo menos uma das raízes. Vamos testar aqui para a equação de terceiro grau correspondente:

Então é uma raiz. Para fatorar então, vamos dividir o polinômio por

Para isso, usamos usar Briot-Ruffini. Colocando a raiz no canto superior esquerdo, os coeficientes do polinômio no meio, sendo o último no canto. Temos raiz e o polinômio:

Então:

Agora descemos o primeiro coeficiente:

Multiplicamos com a raiz e somamos com o coeficiente seguinte:

Colocamos o resultado embaixo do próximo coeficiente e repetimos o processo:

O polinômio resultante vai ser formado pelos coeficientes da parte de baixo menos o último, que é o resto da divisão:

Assim, teremos:

Como:

Temos então:

Fatorado o polinômio, vamos colocar cada termo em tabela e testar os sinais. Temos as raízes:

Então criamos cada um dos intervalos:

Assim, colocamos o intervalo na primeira linha da tabela e os termos na primeira coluna:

Montada a tabela, testamos os sinais de cada termo para cada intervalo. Para o primeiro, queremos . satisfaz, então substituímos:

Assim, teremos:

Para agora, temos que satisfaz. Então:

Assim:

Para agora, temos que satisfaz. Então:

Quase lá, falta . Para esse intervalo, temos que satisfaz. Então:

Assim:

Com os sinais determinados, vamos criar uma nova linha com o sinal equivalente que será o sinal da nossa inequação. Para determinar o sinal equivalente, usamos a regrinha dos sinais:

E vamos operar dois a dois para não ter erro. Para cada uma das colunas da esquerda para direita:

Assim, vamos ter:

Então, para nossa inequação equivalente:

queremos , então nos interessam os intervalos em que temos o sinal de . Isso corresponde aos intervalos e . Porém, com queremos para menor ou igual, ajustamos para:

Ou então: