Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

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Enunciado

Determine o domínio e resolva a seguinte inequação em R :

x 3 - 2 x 2 - 3 x ≤ 0

Passo 1

Vamos começar determinando o domínio. Como tempos aqui um polinômio, o domínio será todo o R , então:

D = x ∈ R

Passo 2

Agora, vamos resolver a inequação. Para isso, vamos fatorar o polinômio.

Temos aqui uma inequação cubica que não sabemos as raízes logo de cara. Geralmente, neste tipo de problema, dá para “chutar” pelo menos uma das raízes. Vamos testar aqui x = - 1 para a equação de terceiro grau correspondente:

- 1 3 - 2 - 1 2 - 3 - 1 = 0

- 1 - 2 + 3 = 0

0 = 0

Então x = - 1 é uma raiz. Para fatorar então, vamos dividir o polinômio por

x - - 1 = x + 1

Para isso, usamos usar Briot-Ruffini. Colocando a raiz no canto superior esquerdo, os coeficientes do polinômio no meio, sendo o último 0 no canto. Temos raiz x = - 1 e o polinômio:

x 3 - 2 x 2 - 3 x + 0

Então:

Agora descemos o primeiro coeficiente:

Multiplicamos com a raiz e somamos com o coeficiente seguinte:

1 ⋅ - 1 - 2 = - 1 - 2 = - 3

Colocamos o resultado embaixo do próximo coeficiente e repetimos o processo:

- 3 ⋅ - 1 - 3 = 3 - 3 = 0

O polinômio resultante vai ser formado pelos coeficientes da parte de baixo menos o último, que é o resto da divisão:

x 2 - 3 x + 0

Assim, teremos:

x 3 - 2 x 2 - 3 x = x + 1 x 2 - 3 x

Como:

x 2 - 3 x = x x - 3

Temos então:

x 3 - 2 x 2 - 3 x ≤ 0

x x + 1 x - 3 ≤ 0

Passo 3

Fatorado o polinômio, vamos colocar cada termo em tabela e testar os sinais. Temos as raízes:

x = - 1

x = 0

x = 3

Então criamos cada um dos intervalos:

x < - 1

- 1 < x < 0

0 < x < 3

x > 3

Assim, colocamos o intervalo na primeira linha da tabela e os termos na primeira coluna:

Passo 4

Montada a tabela, testamos os sinais de cada termo para cada intervalo. Para o primeiro, queremos x < - 1 . x = - 2 satisfaz, então substituímos:

x = - 2 < 0

x + 1 ⟹ - 2 + 1 = - 1 < 0

x - 3 ⟹ - 2 - 3 = - 5 < 0

Assim, teremos:

Para - 1 < x < 0 agora, temos x = - 1 / 2 que satisfaz. Então:

x = - 1 2 < 0

x + 1 ⟹ - 1 2 + 1 = 1 2 > 0

x - 3 ⟹ - 1 2 - 3 < 0

Assim:

Para 0 < x < 3 agora, temos x = 1 que satisfaz. Então:

x = 1 > 0

x + 1 ⟹ 1 + 1 = 2 > 0

x - 3 ⟹ 1 - 3 = - 2 < 0

Quase lá, falta x > 3 . Para esse intervalo, temos x = 4 que satisfaz. Então:

x = 4 > 0

x + 1 ⟹ 4 + 1 = 5 > 0

x - 3 ⟹ 4 - 3 = 1 > 0

Assim:

Passo 5

Com os sinais determinados, vamos criar uma nova linha com o sinal equivalente que será o sinal da nossa inequação. Para determinar o sinal equivalente, usamos a regrinha dos sinais:

- - ⟹ +

- + ⟹ -

+ - ⟹ -

E vamos operar dois a dois para não ter erro. Para cada uma das colunas da esquerda para direita:

- - - ≡ + - ≡ -

- + - ≡ - - ≡ +

+ + - ≡ + - ≡ -

+ + + ≡ + + ≡ +

Assim, vamos ter:

Passo 6

Então, para nossa inequação equivalente:

x x + 1 x - 3 ≤ 0

queremos ≤ 0 , então nos interessam os intervalos em que temos o sinal de ( - ) . Isso corresponde aos intervalos x < - 1 e 0 < x < 3 . Porém, com queremos para menor ou igual, ajustamos para:

S = x ∈ R : x ≤ - 1     o u     0 ≤ x ≤ 3

Ou então:

S = x ∈ R : x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 0,3

Resposta

D = x ∈ R

S = x ∈ R : x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 0,3

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