Determine o domínio e resolva a seguinte inequação em :
Passo 1
Vamos começar determinando o domínio. Como tempos aqui uma razão de polinômios, o domínio será todo exceto os pontos onde o denominador se anula. Neste caso em:
Esse aí é um quadrado perfeito:
Assim, temos:
Assim:
Passo 2
Agora, vamos resolver a inequação. Para isso, vamos fatorar o máximo possível. Temos que:
Quanto ao denominador, vamos usar Bhaskara. Temos que
É uma equação na forma:
Com:
Assim, teremos:
Substituindo os valores:
Para cada sinal:
Logo, podemos escrever:
Então ficamos com:
Podemos cortar o com o quadrado embaixo, mas muito cuidado, que isso não muda nosso domínio, só facilita nossa resolução:
Passo 3
Com tudo fatorado, vamos colocar cada termo em tabela e testar os sinais. Temos as raízes:
Então criamos cada um dos intervalos:
Assim, colocamos o intervalo na primeira linha da tabela e os termos na primeira coluna:
Passo 4
Montada a tabela, testamos os sinais de cada termo para cada intervalo. Para o primeiro, queremos . satisfaz, então substituímos:
Assim, teremos:
Para agora, temos que satisfaz. Então:
Assim:
Quase lá, falta . Para esse intervalo, temos que satisfaz. Então:
Assim:
Passo 5
Com os sinais determinados, vamos criar uma nova linha com o sinal equivalente que será o sinal da nossa inequação. Para determinar o sinal equivalente, usamos a regrinha dos sinais:
Assim, vamos ter:
Passo 6
Então, para nossa inequação equivalente:
queremos , então nos interessam os intervalos em que temos o sinal de . Isso corresponde aos intervalos e . Além disso, queremos maior ou igual, então ajustamos para:
Não consideramos para pois não está no nosso domínio (atenção para isso!).
Ou então: