UFRJ – Sem campus – Cálculo 3 – PF – 2022.1 – Questão 4
Calcule a integral de superfície de campo vetorial onde a superfície é dada pela equação:
orientada com vetor normal apontando para fora do eixo e é o campo vetorial:
(Observação: é uma superfície de revolução que contém o cone em seu interior e coincide com ele nos planos e ).
Passo 1
Eaí galerinha, tudo na paz com vocês?
Nessa questão precisamos calcular a integral de superfície:
onde o campo vetorial , vale:
Até aqui parece tudo ok, aplicação direta da teoria e tal... O problema está na superfície . Ela é dada pela equação:
Que lembra muito a equação de um tronco de cone, mas não é exatamente isso devido ao termo multiplicando . Essa superfície, na realidade, é como a união de vários pedaços de cones diferentes de a .
Vou explicar melhor, imagina que temos . Então:
Essa parte do cone que intersecta o plano , pertence a superfície . Se agora, pegamos , teremos um novo cone, que contribuirá para com a sua parte que intersecta o plano .
Assim por diante, até chegarmos a .
Beleza, mas essa complicação toda foi só pra entender a superfície , como que a gente pode então parametrizar a superfície e resolver essa integral?
Calma galera! Essa superfície é tão complicada que precisamos pensar em algum modo de facilitar um pouco as coisas! Tem um teorema bem importante que talvez possa nos ajudar, é o Teorema de Gauss!
Para aplicá-lo precisamos obedecer condições:
Superfície de integração orientada positivamente;
Superfície que delimita um sólido, ou seja, é fronteira de um sólido;
Campo vetorial possui derivadas parciais contínuas em todo o sólido.
Se essas condições forem obedecidas, podemos usar que:
Vamos então verificar se essas condições estão sendo satisfeitas para a superfície e a partir daí aplicamos o teorema, beleza?
Passo 2
Bom, começando pela orientação da superfície vemos que ela é satisfeita. Pois, pelo enunciado, a normal da superfície aponta para fora do eixo .
O problema mesmo está nessa segunda condição. Segundo ela, a superfície precisa ser fronteira de um sólido.
Mas, a nossa superfície não delimita um sólido, não podemos aplicar o teorema então?
Na verdade, tem um truque que podemos usar, e que em alguns casos vai nos ajudar bastante. Podemos fechar a superfície em baixo e em cima, de modo que ela passe a representar a fronteira de um sólido.
Para isso, precisamos adicionar uma “tampa”, que chamaremos de , em :
Ou seja, é um círculo centrado na origem e com raio igual a .
De modo análogo, podemos adicionar uma “tampa” superior, que chamaremos de , em
Ou seja, é um círculo centrado na origem e com raio igual a .
Pra finalizar, o campo vetorial precisa possuir derivadas parciais contínuas em todo o sólido.
Acho que uma forma legal de proceder aqui é imaginarmos que isso também é satisfeito, e quando formos calcular o olhamos com mais calma. Beleza?
Dessa forma, a nova superfície composta pela união de , S e satisfaz as hipóteses do teorema de Gauss, e podemos escrever que:
Isolando o que queremos calcular, temos:
Show!
Passo 3
Vamos começar calculando o (aqui aproveitamos pra verificar melhor a hipótese do teorema).
Lembra que o é dado por:
Calculando cada uma dessas derivadas parciais separadamente, e lembrando que:
Chegamos a:
Usando a regra do produto, que fala:
Temos:
Boaaa! Resolvendo de forma análoga para as outras derivadas, teremos:
Prontinho! Como ficamos de analisar antes, essas derivadas parciais não possuem restrição nos reais, ou seja, são contínuas.
O único termo que poderia dar problema é o denominador dentro da raiz, mas o termo dentro da raiz é formado por quadrados, logo são sempre não-negativos, e como , o denominador também não zera nunca. Ou seja, de fato, a hipótese foi satisfeita 😊
Calculando agora o , temos:
Como os denominadores são iguais, podemos somar os numeradores:
Uaaau! Se o não precisamos nem calcular a integral tripla, já podemos afirmar que:
Excelente!
Passo 4
Após esse resultado maravilhoso, vamos relembrar a expressão que desenvolvemos no passo :
Como , temos:
Portanto, agora vamos calcular as integrais duplas pelo método direto! Basicamente, precisamos seguir as etapas:
Parametrizar a superfície;
Substituir a função do integrando que está como para , onde são as variáveis da parametrização;
Calcular o vetor normal :
Juntar tudo na integral e resolvê-la pelo método de resolução de integral dupla.
Começando pela nossa superfície , temos:
Podemos parametrizá-la como:
onde , .
Assim:
Agora, podemos substituir os novos parâmetros no campo vetorial:
Logo:
A próxima etapa é calcular :
Resolvendo as derivadas parciais, temos:
Calculando o produto vetorial:
Logo:
Como vem:
Portanto:
Aqui não podemos esquecer de verificar a orientação da normal.
A superfície é inferior, a normal deve apontar positivamente para fora dessa superfície. Ou seja, a normal é positiva quando aponta para baixo.
Mas, pela parametrização que usamos encontramos a normal apontando para o sentido positivo do eixo (pois , ou seja, pra cima. Assim, na realidade, pela orientação convencionada, essa normal é negativa. Então:
Por fim, juntamos tudo na integral dupla e finalmente a resolvemos:
As componentes em e zeram, de forma que tudo se resume a:
Fazendo , temos:
E, quando temos . Quando , . Assim:
Racionalizando, temos:
Muito bom!!
Passo 5
Novamente, relembrando a expressão desenvolvida no passo :
Substituindo os resultados encontrados até então:
Ou seja, falta apenas calcularmos .
Portanto, vamo simboraaa!!!
O bom é que poderemos aproveitar vários resultados do cálculo da integral anterior (passo . Assim, temos a seguinte equação da superfície:
Usando uma parametrização semelhante a de :
onde , .
Assim:
A próxima etapa é substituir essa parametrização no campo vetorial, daí vem:
Massa! Vamos agora calcular .
Aqui, como a parametrização foi praticamente a mesma que a de , de modo que teremos as mesmas derivada parciais, podemos escrever diretamente que:
Novamente precisamos verificar a orientação da superfície. Nesse caso é mais simples, pois a superfície é superior, logo sua normal é positiva quando aponta pra fora da superfície (ou seja, para o sentido positivo do eixo ). E, o que calculamos através da parametrização utilizada está de acordo com essa orientação, já que .
Por fim, juntamos tudo na integral dupla e resolvemos!
Novamente, zeramos no produto escalar as componentes em e em :
Fazendo , vem:
Além disso, quando , temos . E, quando temos . Substituindo a variável na integral, vem que:
Colocando em evidência:
Prontinho!
Agora é só correr pro abraço! Como:
Substituindo o resultado que encontramos, chegamos que:
Prontinho pessoal! Finalmente matamos essa questão! Ela trouxe umas ideias bem bacanas que vale a pena ter na caixinha de ferramentas 😊
Obrigado pela atenção! Curtiu a solução? Responde Aí!