Seja a parte da superfície limitada pelo plano e orientada pela normal unitária tal que . Se então o valor de é:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Cara, a gente tem uma superfície com vetor normal externo, já que o paraboloide está virado para baixo, e seu vetor normal no ponto (cume do paraboloide) está virado para cima .
E ele dá um campo vetorial bem feio e uma integral de superfície para a gente calcular. Essas são dicas para gente calcular essa integral usando o teorema de Gauss!
Vamos começar calculando o divergente de para saber se nossa ideia é boa mesmo. Olha que legal. Queremos calcular
Então para usar Gauss para essa integral vetorial, vamos ter que tirar o divergente do campo que está no seu integrando. Que campo é? O rotacional de ! Então precisamos calcular:
E aí a gente lembra de uma propriedade interessante: o divergente do rotacional é sempre nulo:
Outra dica de que podemos usar Gauss. Vamos lá!
Passo 2
Cara, Gauss tem umas condições para aplicar. Duas delas já atendemos:
- nosso campo está bem definido em todo (já que não temos nenhuma restrição no domínio, tipo um denominador que pode zerar).
- o vetor normal ao paraboloide aponta para fora dele.
Maaas, a gente não atende um critério muito importante: o paraboloide não é uma superfície fechada. Precisamos usar superfície fechada para Gauss.
O que a gente faz? Chora? Não! A gente vai fechar esse paraboloide. Com um plano em formato de elipse, porque planos são simples. Aí a nossa superfície geral vai ser o paraboloide e esse plano, beleza?
Podemos parametrizar esse plano como:
A componente dele em é nula porque ele está em no espaço.
Repara que o nosso plano, para fechar a essa superfície, precisa ter o formato da interseção do paraboloide com o plano , certo? A equação dela é:
Ou seja, uma elipse. Nosso plano vai estar dentro dessa curva. Então a gente pode dizer que o domínio dele é:
Passo 3
Agora vamos montar nossa equação pelo teorema de Gauss. Ele diz que:
Esse é uma superfície fechada. No nosso caso, a superfície fechada é a soma de duas superfícies. A o paraboloide e o nosso plano .
E em vez de , temos na nossa integral de superfície . Então a gente pode reescrever essa parte assim:
Lembra que nosso divergente deu 0:
Então isolamos quem a gente quer achar:
Só falta calcular essa integral de superfície sobre o plano. Então vamos focar nela!
Passo 4
A nossa parametrização do plano é:
Esse vai ser o domínio da nossa integral.
A gente precisa começar achando o vetor normal a esse plano. Mas repara que esse plano está dentro de . O vetor normal a todo o é o vetor , que é o sentido do eixo , certo?
Então esse vai ser o nosso vetor? Cara, ele com certeza é normal a nossa superfície, mas ele está apontando para fora do paraboloide? Olha ele:
Ele está apontando para dentro do paraboloide. Para apontar para fora, ele precisa estar apontando no sentido oposto. Então só vamos multiplicar ele por :
Passo 5
O campo é aquele estranho né:
Mas quem a gente quer na integral é o rotacional desse campo. Você pode pensar o quão triste vai ser calcular ele. Mas calma! Tem um jeito mais fácil de passarmos por isso. Segura na minha mão.
Imagina que a gente vai dar valores genéricos para as componentes do rotacional:
Aí o nosso integrando fica:
Isso significa que a gente só precisa da componente do rotacional. E ela vale:
Lembrando que o domínio da integral é o domínio da parametrização do plano, nossa integral fica assim:
Passo 6
Nossa integral ficou assim:
A integral dupla sobre essa elipse vai ser igual a área da elipse! Isso porque o argumento dela é .
Como a área da elipse é , e a nossa elipse tem semieixos e . Podemos dizer que
Voltando para Gauss:
Resposta
Letra d