Teorema de Gauss
Considere o campo
Usando o Teorema da Divergência, calcule o fluxo de através da superfície .
Passo 1
A superfície do problema é uma folha de cone , limitada por e . Como em a folha se “fecha”, precisamos nos preocupar apenas em fechar com uma “tampa” esse cone, para aplicar Gauss.
Bom então, sendo nossa superfície (o cone) e um disco em que fecha a região, podemos aplicar o teorema.
Como a região limitada por e é fechada, sendo essa fronteira orientada positivamente (as normais apontam para fora da região), podemos aplicar o Teorema de Gauss:
Como queremos a integral em :
Passo 2
Agora precisamos calcular . Temos:
Passo 3
Agora vamos montar a integral
Onde é o volume que vimos no passo 1.
Passo 4
Beleza, então precisamos só da integral no disco. Temos em .
Uando coordenadas polares, temos a parametrização
Onde e .
Agora, vamos calcular a normal:
Como a orientação da região implica que a normal ao plano aponte para cima, encontramos o vetor certo.
Agora, vamos usar a fórmula:
O campo em função de fica:
Levando o que temos para a integral:
Passo 5
Como a integral que queremos é dada por:
Encontramos nossa resposta.