Use o Teorema do Divergente para calcular
Sendo
E a metade superior da esfera de equação
Passo 1
Bom, essa questão é simples, o problema dela é que você tem que ter uma sacada! Essa superfície que ele descreve, não está fechada!
Mas o que Gauss nos afirma
Passo 2
Bom, para fechar nossa semiesfera, vamos usar um disco no plano xy, descrito como . Lembrando que o mesmo deve ser orientado para baixo!
Usando coordenadas polares, onde e, com o raio variando de 0 a 1 e de 0 a 2.
Passo 3
Bom, mas isso que achamos foi só para o disco! A questão nos pede para a parte superior da esfera. Note que:
Onde é a esfera unitária centrada na origem.
Passo 4
Agora então podemos calcular o
Lembrando que
Passo 5
Usando então coordenadas esféricas (sem esquecer o Jacobiano) para representar a parte superior da esfera unitária escrevemos:
Passo 6
Por fim então juntamos o que temos.