Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

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Enunciado

Encontre o fluxo do campo F x , y , z = ( e y + cos ⁡ y z , - 2 z y + s e n   x z , z 2 + 3 2 ) através da superfície S , orientada positivamente, união das superfícies S 1 e S 2 , onde S 1 é definida por z = 4 - 2 x 2 - y 2 , 0 ≤ z ≤ 2 , e S 2 tem equação z = 1 + x 2 + y 2 2 , 1 ≤ z ≤ 2 .

Passo 1

Se liga! O enunciado está pedindo para encontrar o fluxo. Para começarmos a resolver, podemos escrever que o fluxo, que chamaremos de ϕ , é dado por

ϕ = ∬ S F →     .     n →   d S .

Passo 2

O enunciado pede para achar o fluxo do campo através da união entre as superfícies S 1 e S 2 , ou seja, S 1 ∪ S 2 .

Outra informação importante é que a superfície S 1 é definida por

  z = 4 - 2 x 2 - y 2  

que representa um paraboloide elíptico com concavidade para baixo com vértice localizado no ponto ( 0,0 , 4 ). Como ele está definido em 0 ≤ z ≤ 2 , podemos esboçar o desenho dele da seguinte forma.

Agora podemos analisar o que acontece quando z = 0 ,

0 = 4 - 2 x 2 - y 2

x 2 2 + y 2 4 = 1 .

Chamaremos a superfície deste disco como S A .

Sendo assim, quando y = 0 temos que

x = ± 2

E para x = 0

y = ± 2 .

Assim temos duas superfícies que delimitam o sólido em z = 0 e z = 2 .

Passo 3

Se considerarmos o plano onde z = 2 , temos que

2 = 4 - 2 x 2 - y 2

x 2 + y 2 2 = 1             ( 1 )

Assim, quando y = 0 ,

x = ± 1

e para x = 0

y = ± 2 .

Passo 4

A superfície S 2 é definida por

z = 1 + x 2 + y 2 2

no intervalo 1 ≤ z ≤ 2 . Assim podemos esboçar o desenho

Se liga que quando z = 1

1 = 1 + x 2 + y 2 2

x 2 = - y 2 2 ⇒ x = y = 0 .

Passo 5

Analisando quando z = 2 , temos

2 = 1 + x 2 + y 2 2

x 2 + y 2 2 = 1

Repare que esta é a mesma equação (1) encontrada para a superfície S 1 quando z = 2 .

Passo 6

Se liga! Quando é feita a união das superfícies, S 1 e S 2 , no intervalo definido por

1 ≤ z ≤ 2

a superfície S 2 fica por dentro da superfície S 1 , sendo assim, quando fazemos

S = S 1 ∪ S 2

não incluímos a borda superior, quando z = 2 , da superfície S 1 . Repare que S A não está inclusa em S .

Passo 7

Considerando que temos uma superfície fechada, podemos aplicar o Teorema de Gauss.

∬ S F →     .   n →   d s = ∭ W d i v F → d V     ( 2 )

Onde

d i v   F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z .

Fazendo as derivadas parciais, temos

∂ F 1 ∂ x = ∂ ∂ x e y + cos ⁡ y z = 0

∂ F 2 ∂ y = ∂ ∂ y - 2 z y + s e n   x z = - 2 z

∂ F 3 ∂ z = ∂ ∂ z z 2 + 3 2 = + 2 z

⇒ d i v   F → = 0 - 2 z + 2 z = 0         ( 3 )

Passo 8

Podemos separar

∬ S F →     .   n →   d s

Em

∬ S A F →     .   n →   d s + ∬ S F →     .   n →   d s       ( 4 )

Substituindo a (4) em, (2) e usando a equação (3), temos

∭ W d i v F → d V = ∬ S A F →     .   n →   d s + ∬ S F →     .   n →   d s = 0

⇒ ∬ S A F →     .   n →   d s = - ∬ S F →     .   n →   d s .     ( 5 )

Passo 9

Agora vamos fazer a parametrização de S A .

Lembrando que a superfície S A é definida por

D = x , y | x 2 2 + y 2 4 ≤ 1

E para z = 0 ,

F = x , y , 0 = e y + 1 ,       0     , 3 2 .

No exterior do sólido, temos

n A → = ( 0,0 , - 1 )

Pois aponta para fora.

Como temos todos os elementos necessários, podemos montar a integral

∬ S A F →     .   n →   d s = ∬ D e y + 1 ,       0     , 3 2 . 0,0 , - 1 d x d y

= - 3 2 ∬ D d x d y

Esta integral é a própria área da superfície S A , que é uma elipse de raios 2 e 2 . Portanto

∬ D d x d y = 2   2   π

Portanto

∬ S A F →     .   n →   d s = - 3 2 2   2   π = - 6 π .

Passo 10

Agora só precisamos substituir o valor obtido na equação (5). Sendo assim, o fluxo através da superfície S é

∬ S B F →     .   n →   d s = 6 π .

Resposta

∬ S B F →     .   n →   d s = 6 π .