Teorema de Gauss
Seja a superfície , orientada com vetores normais apontando para cima. Calcule
Sendo o campo vetorial dado por .
Sugestão: Observe que podemos “fechar” acrescentando o disco , (cuja área é ) de modo a obter a fronteira de uma região sólida simples.
Passo 1
Repare que a interseção da subperfície com é a circunferência .
Então, podemos fechar essa superfície com o disco , como sugere o problema, formando a região .
Recaptulando: nós temos um sólido que possui como fronteira em cima a superfície e embaixo o disco, que vamos chamar de .
Beleza?
Como a região limitada por e é fechada, sendo essa fronteira orientada positivamente ( aponta para cima e aponta para baixo), podemos aplicar o Teorema de Gauss:
Como queremos a integral em :
Passo 2
Agora precisamos calcular . Temos:
Passo 3
Agora vamos montar a integral
Onde é o volume que vimos no passo 1.
Passo 4
Beleza, então precisamos só da integral no disco. A gente poderia parametrizar o disco, encontrar a normal a ele e etc, mas tem um jeito mais fácil de sair disso aqui.
O disco estã no plano , não é? Então, a normal unitária a ele é dada por
Esse sinal negativo está ai porque, como já vimos, ela é orientada para baixo. Ok, então podemos escrever:
Como tudo se simplificou, acabou que nem era preciso parametrizar nada, percebeu? E como o problema nos deu a área , podemos resolver isso aí: