Exercícios de Superfície Aberta - Lista de Exercícios Resolvida

Calcule onde e é a parte da superfície com sendo a normal tal que .

Encontre o fluxo do campo através da superfície , orientada positivamente, união das superfícies e , onde é definida por , e tem equação ,

Considere a superfície obtida girando-se o segmento de reta que liga os pontos e em torno do eixo . Calcule:

Onde é o campo dos vetores normais exterior a e é um campo vetorial em definido por:

Seja a porção da esfera:

Compreendida entre os planos e , com . Calcular:

Onde é a normal unitária a cuja terceira coordenada é sempre positiva e é definido por:

Calcule , onde e é definida por:

Com campo de vetores normais exterior a .

Seja a parte da superfície limitada pelo plano e orientada pela normal unitária tal que . Se então o valor de é:

a)

b)

c)

d)

e)

Calcule o fluxo do campo vetorial

Através da superfície definida por

Com campo vetorial normal tendo componente positiva.

Calcule onde e é a parte da superfície com sendo a normal tal que .

Seja um campo vetorial em .

Seja a superfície parametrizada por

e orientada de forma que o vetor normal possua terceira componente não positiva.

Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície .

Considere a superfície que é a parte do elipsoide que está acima do plano e com os vetores normais apontando para fora. Seja e

Use o teorema de Gauss para calcular

8) Seja . Determine o fluxo de através da parte do parabolóide que está acima do plano , sendo a normal com a componente não negativa.

Calcule , onde e é definida por e

12) Seja a superfície cônica de vértice , , de base situada no plano com raio e com componente não negativa. Seja

Sendo de classe em . Calcule o fluxo de através de .

18) Seja de classe , tal que e

Para todo .

Calcule

Onde é a lata cilíndrica com fundo e sem tampa dada por , , , com vetor normal apontando para fora de .

Seja a parte da superfície esférica , com , orientada pela normal unitária (exterior à esfera). O valor da integral de superfície

é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Seja a parte do hiperboloide , com , orientada de modo que a normal unitária satisfaça . Então

é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Seja a parte do paraboloide com , orientada pela normal unitária tal que e um campo vetorial de classe , definido em um aberto que contenha . Considere as afirmações:

(I)

(II)

(III)

Nessas condições, podemos afirmar que:

a) nenhuma das afirmações é verdadeira para todo campo .

b) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras para todo campo .

c) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras para todo campo .

d) apenas a afirmação (III) é verdadeira para todo campo .

e) todas as afirmações são verdadeiras para todo campo .

Sejam com e .

a) Mostre que

b) Seja a superfície união de , e .

Se quando aponta “para fora” de , calcule o valor de .

(Dica: A superfície não é fechada. Feche-a e utilize o Teorema do Divergente.)

Questão 3: Seja a região do exercício . Seja a parte da fronteira que contem o pedaço de paraboloide de cilindro. Calcule o fluxo

Do campo espacial , onde está orientada positivamente (como parte da fronteira de ). Dica: Aplique o teorema de Gauss a ).

Calcule o fluxo

Do campo vetorial

Através da superfície

Orientada com vetor normal apontando para fora da esfera.

Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo definido por

Através da superfície dada pela equação com , orientada tal que o seu vetor normal tem coordenada negativa.

Considere o campo

Usando o Teorema da Divergência, calcule o fluxo de através da superfície .

Considere a superfície que é a parte da esfera que está dentro do cone com e com os vetores normais apontando para fora. Seja

, calcule:

Usando uma superfície apropriada

c) Determine o fluxo do campo vetorial através de

Considere o campo vetorial

1. Calcule o fluxo de através do disco dado pela interseção da esfera com o plano , orientado para cima.
2. Determine o divergente de .
3. Calcule o fluxo de através do pedaço da superfície esférica que se situa acima do plano , orientada pela normal exterior.

2) Calcule

onde e com e

Questão 3:

Seja a superfície regular por partes. , onde é o pedaço do cilindro de equação implícita acima do plano e abaixo do plano , e é o pedaço do cilindro de equação implícita abaixo do plano e com . Consideremos a orientação de tal que o campo de vetores normal unitário aponta para fora dos cilindros.

Seja o campo espacial

1. Faça um esboço de (Dica: esboce o eixo apontado para a direita).
2. Calcule o fluxo de através de (Dica: Feche com duas tampas e aplique o teorema de Gauss).

Questão 4) Considere o campo vetorial

e a superfície descrita por .

1. Calcule o fluxo do campo através da superfície que é a parte do plano que está dentro da esfera com vetor normal apontando pra cima.
2. Calcule o Divergente do campo .
3. Calcule o fluxo do campo através de orientado pelo vetor positiva.

Questão 4: Considere uma esfera eum paralelepípedo sólido definidos por

1. Dê uma parametrização da superfície , orientada com vetor normal apontando para a origem.
2. Dê duas expressões que permitam calcular o fluxo do campo através de , uma na parametrização, e outra usando o Teorema de Gauss.
3. Escolha uma destas duas expressões e calcule o fluxo

21) Calcule

Sendo , através de , orientada de forma que o vetor normal no ponto seja o vetor .

Considere o campo de vetores e a superfície S que é a parte do paraboloide que está acima do plano .

1. Calcule o divergente de .
2. Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de através da superfície , i.e calcular

Usando o Teorema da Divergência. Lembre que é o campo normal unitário de com a última coordenada positiva.

Seja a superfície , orientada com vetores normais apontando para cima. Calcule

Sendo o campo vetorial dado por .

Sugestão: Observe que podemos “fechar” acrescentando o disco , (cuja área é ) de modo a obter a fronteira de uma região sólida simples.

Seja .

1. Calcule .
2. Seja , onde é a superfície do paraboloide limitado pelo plano , com vetores normais apontando para fora. Mostre que , usando:

b1) o Teorema de Gauss.

Calcule , sendo e a parte da esfera , com , orientada com exterior.

19) Considere o campo vetorial , onde é de classe . Seja uma lata cilíndrica com fundo e sem tampa dada por , , e , . Sabendo que o fluxo de através de , de dentro para fora é igual a , calcule o valor de .

Calcule onde , é formada pelas cinco faces do cubo que não estão no plano com exterior a , usando o teorema de Gauss.

Calcule

Onde é a superfície dada por , , orientada pela normal unitária que satisfaz .

Seja a porção da esfera:

Compreendida entre os planos e , com . Calcular:

Onde é a normal unitária a cuja terceira coordenada é sempre positiva e é definido por:

Calcule a integral de superfície de campo vetorial onde a superfície é dada pela equação:

orientada com vetor normal apontando para fora do eixo e é o campo vetorial:

(Observação: é uma superfície de revolução que contém o cone em seu interior e coincide com ele nos planos e ).

Questão 2: Calcule o fluxo

Do campo vetorial

Através da superfície definida como sendo a porção da esfera satisfazendo a condição orientada com o vetor norma apontando para fora da esfera.

Considere o campo e seja a superfície do cone dado por com .

Use o Teorema de Gauss para calcular

(Note que ).

Use o Teorema do Divergente para calcular

Sendo

E a metade superior da esfera de equação

Questão 3: Seja

Calcule

Onde é a superfície orientado pela normal unitária tal que

Calcule , onde e é a superfície definida por: