Teorema de Gauss
Considere a superfície que é a parte do elipsoide que está acima do plano e com os vetores normais apontando para fora. Seja e
Use o teorema de Gauss para calcular
Passo 1
Como já vimos, temos o seguinte gráfico para essa superfície
Onde é essa casca do elipsoide cortada pelo plano . Pelo Teorema de Gauss, podemos escrever o seguinte
Ou seja, a integral de superfície de uma função sobre uma superfície fechada é igual à integral tripla do divergente dessa função no sólido limitado por essa superfície. Aplicando isso ao problema, podemos pensar que e que a casca do elipsoide , junto com a elipse contida no plano , formam uma região fechada.
Assim, escrevemos:
Como o que queremos é o primeiro termo dessa expressão:
Passo 2
Vamos começar pela integral tripla. Vamos calcular o rotacional de . Temos:
O divergente do rotacional é, então:
Portanto, temos:
Passo 3
Beleza, agora vamos calcular a integral de superfície.
Primeiro, vamos parametrizar nossa nova superfície e calcular seu vetor normal. Como a elipse está contida no plano , podemos parametrizá-la como:
Onde os parâmetros e devem estar “dentro” da projeção da superfície no plano , ou seja, dentro da elipse.
Fazendo a interseção do elipsoide com o plano , temos:
Como queremos os pontos que estão dentro da elipse, temos:
Passo 4
Esse é o domínio da superfície . Agora vamos calcular a normal dessa superfície.
Como o problema diz que os vetores normais apontam para fora no elipsoide (ou seja, para cima), para manter o sentido vetorial correto, eles devem apontar para cima no plano. Como o vetor que encontramos possui a coordenada positiva, quer dizer que ele está no sentido correto!
Passo 5
Escrevendo o rotacional em termos das variáveis da parametrização, temos:
Legal, deu no mesmo -.-
Ok, vamos continuar.
Passo 6
Agora, vamos montar a integral de superfície
Onde é dado por
O domínio da parametrização. Vamos calcular isso aí então:
Olha que maravilha, nem precisamos fazer mais conta : )
Passo 7
Assim, temos o seguinte: