Considere o campo de vetores e a superfície S que é a parte do paraboloide que está acima do plano .

1. Calcule o divergente de .
2. Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de através da superfície , i.e calcular

Usando o Teorema da Divergência. Lembre que é o campo normal unitário de com a última coordenada positiva.

Antes de utilizarmos o Teorema da Divergência, vamos relembrar o que ele nos diz! De uma forma resumida, ele afirma que o fluxo de um campo vetorial sobre uma determinada superfície corresponde a integral do divergente da função na região cuja fronteira é a região .

Se escrevermos matematicamente o que a definição nos diz, temos:

E aí acontece um pequeno problema que temos que considerar. A superfície que queremos calcular o fluxo é a superfície do paraboloide. Só que a região que obtemos é delimitada por cima por esta superfície e a abaixo por outra, o plano .

Portanto, ao calcularmos este divergente, vamos obter o resultado que consiste tanto da nossa superfície , quanto da superfície , que consiste na parte do plano cujo bordo é obtido pela interseção do plano com o paraboloide.

Portanto, escrevemos a definição do Teorema da Divergência por:

Então, temos que calcular uma integral tripla e uma integral dupla para podermos resolver o nosso problema.

A chave para a resolução de ambas integrais está em relembrar as propriedades de integração. Ao integrarmos uma função ímpar em um intervalo simétrico, o resultado desta integral é igual a 0. Em uma única variável, seria escrever:

Mas o que é uma função ímpar? Ela é uma função que satisfaz . Lembra do gráfico da função ? É semelhante ao que ali acontece.

Bom, vamos para o cálculo da nossa integral tripla. Substituindo o valor do divergente calculado anteriormente, temos:

Lembrando que a nossa região é limitada acima pelo paraboloide e abaixo pelo plano, e a projeção desse sólido no plano forma a região , então, podemos escrever a integral da seguinte forma:

Integrando em relação a , vamos obter:

Se a gente reorganiza o nosso integrando, temos:

Bom, agora que entra aquela questão da função ser ímpar. Como a nossa região é simétrica tanto em relação a quanto a (basta verificarmos que é um círculo centrado na origem), se nós conseguirmos verificar que a função é ímpar em relação a ou a , a nossa integral automaticamente é nula.

E é possível verificar que a função é ímpar em relação a . Basta ver que os expoentes ímpares do que multiplica cada um dos termos. Entretanto, vamos verificar pela definição que toda a função é ímpar. Logo,

Multiplicando por menos 1, temos:

E assim confirmamos que é uma função ímpar. E a sua integral se torna:

Logo,

Agora, temos que calcular a seguinte integral dupla:

Lembrando que a superfície , que consiste na parte do plano cujo bordo é obtido pela interseção do plano com o paraboloide.

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano . Ele pode ser tanto o vetor quanto o . Mas como queremos manter a definição do Teorema da Divergência, cuja orientação é positiva (para fora do sólido ), vamos obter o vetor . Portanto, nossa integral dupla se torna:

Como , temos:

A superfície é uma região circular centrada na origem. Logo, é simétrica em relação a e a . Basta verificarmos quem é o termo diferencial . Podemos escrevê-lo através da seguinte relação:

Como a norma do vetor normal é unitária, então, . Portanto,

Agora, basta checar se é ímpar. E isto é claramente observado pois o expoente do termo é um expoente ímpar. Portanto, função ímpar integrada em intervalo simétrico é igual a 0. Logo,

E consequentemente, o fluxo de sobre a superfície do paraboloide é:

E assim finalizamos a questão.