Questão 4) Considere o campo vetorial
e a superfície descrita por .
- Calcule o fluxo do campo através da superfície que é a parte do plano que está dentro da esfera com vetor normal apontando pra cima.
- Calcule o Divergente do campo .
- Calcule o fluxo do campo através de orientado pelo vetor positiva.
Passo 1
O fluxo de um campo através de uma superfície é nos dado como uma integral de superfície:
é a superfície do plano ...
Só que não queremos o plano todo, neh? Só queremos o pedaço o que está dentro da esfera de raio ...
Sim, é um círculo. Pra saber o seu raio e sua equação, basta substituir a equação do plano na equação da esfera:
Yes! Entã a região é um círculo de raio ;)
Passo 2
Para resolver essa integral de superfície, pensa comigo: essa superfície tem o vetorzinho normal apontado para cima sempre
no caso do plano e ele é unitário, então vale...
Logo...
Como no plano o é , então...
Substituindo na integral de superfície...
Bem, ficou vezes a área de . Ora bolas, não é um círculo de raio ? Então...
Sacou? Quando conhecermos o vetorzinho normal e ele simplificar as contas como simplificou, podemos sempre fazer assim e ganhar tempo ao invés do método tradicional: parametrizar a superfície e bla, bla, bla (que também daria a mesma coisa ;D)
Passo 3
O divergente é dado por:
Como
Calculando as derivadas parciais:
Logo...
Passo 4
Ora, o problema não te pediu para calcular o divergente atoa. Ele quer que você use-o. Bem, a relação maravilhosa que existe entre o divergente e o cálculo de fluxo é que pelo Teorema de Gauss:
Mas não podemos aplicar essa integral assim... De qualquer forma. Precisamos averiguar as condições do Teorema que nos pede:
1º - Uma superfície fechada delimitando o sólido :
2º - Sem singularidades na função Vetorial:
3º - Superfície orientada positivamente:
Vem comigo averiguar essas condições ;D
Passo 5
1º - Uma superfície fechada delimitando o sólido :
Se desenharmos a superfície que queremos o fluxo, como o problema nos sugeriu,
Vamos obter a parte de cima da esfera de raio ...
Infelizmente ela é uma superfície aberta, logo, para aplicar o Teorema teremos que fecha-la. Podemos fazer isso com o plano ...
Veja então que o sólido onde devemos integrar agora é fechado pelas superfícies e por esse plano foi chamado de no item , logo...
Como queremos o fluxo só em , isolemos...
Passo 6
2º - Sem singularidades na função Vetorial:
Esse campo Vetorial funciona em todas as situações, afinal ele não tem nenhuma divisão por ou algo do tipo.
3º - Superfície orientada positivamente:
Bem, isso significa que precisamos de uma superfície com vetores normais saindo do sólido fechado por ela, o que já acontece lá do enunciado, afinal o vetor tem a componente positiva...
Passo 7
Bem, com as três condições sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade do Teorema sem nenhuma restrição...
E podemos simplificar ainda mais esse problema se invertermos o sinal de pra positivo (isso significa que vamos trocar sua orientação de pra baixo passa a ser pra cima parecido com o do item :D)
Então se queremos a integral de superfície , calculemos a integral tripla por que milagrosamente já temos a integral de superfície em cima de ;)
Passo 8
Então vamos lá, e começando com a integral tripla...
Descrevendo :
Podemos utilizar as mudanças para coordenadas cilíndricas:
Onde o Jacobiano dessa mudança é:
E uma equação que nos ajuda muito é a equação do cilindro:
Não devemos sair de uma mudança de coordenadas sem antes dizer onde os parâmetros variam:
Para encontrar a variação de e , devemos olhar pra projeção do sólido no plano ...
Veja que essa projeção se parece muito pelo método gráfico com um círculo. Não podemos ficar no “se parece” neh? Devemos ter certeza, por isso vamos encontrar a equação dessa projeção.
Observe que ela é o encontro da equação do plano com a equação da esfera:
Veja que a intersecção de fato é uma circunferência de raio , onde podemos concluir que o Raio ...
E o ângulo ...
Já variação do , bem ele é o cara que varia de cima pra baixo no sólido:
Ou seja...
Agora, se estamos em coordenadas polares...
Passo 9
Então montando a integral tripla não se esquecendo do Jacobiano...
Integrando em e já substituindo...
Chegamos enfim a essa integral dupla:
Podemos calcular essa integral de dentro fazendo uma substituição...
Só não esqueça de trocar os limites também...
Eu sei que é tentador terminar a questão aqui, mas não se esqueça de que ainda não chegamos ao valor do fluxo em , então...
Passo 10
Regressando a integral do problema...
Utilizando o resultado obtido em ...