Calcule onde e é a parte da superfície com sendo a normal tal que .

Como deve dar trabalho calcular isso ai pela definição (dá uma olhada no campo), vamos tentar usar Gauss aqui. Começarmos calculando esse divergente:

Olha que maravilha isso aqui.

Para usar Gauss, precisamos fechar essa região.Vamos fechar com esse disco (elipse) que a borda de forma, pode ser? Então, temos isso aqui:

Sendo a região na figura acima, orientada positivamente, e é a elipse que fecha . Temos então:

Onde é metade do volume do elipsoide. Lembra que o volume de um elipsoide é dado por isso aqui?

Onde são as raízes dos denominadores de , e (os semeixos do elipsoide):

Portanto:

Isso nos dá:

Agora precisamos da integral na elipse. Para descobrir sua equação vamos fazer na equação do elipsoide:

Vamos parametrizar isso aí em coordenadas elipticas então:

Onde e .

Lembrando que a elipse pertence ao plano . Show, agora vamos achar a sua normal:

Como a normal deve apontar para fora de , para a elipse, isso significa , portanto, queremos o vetor oposto a esse:

Agora, vamos usar essa fórmula aqui:

Escrevendo o campo em função da parametrização, temos:

Levando o que temos para a integral:

Temos então