Teorema de Gauss
Considere o campo e seja a superfície do cone dado por com .
Use o Teorema de Gauss para calcular
(Note que ).
Passo 1
A superfície do problema é um cone limitado por e . Como em a folha se “fecha”, precisamos nos preocupar apenas em fechar com uma “tampa” esse cone, para aplicar Gauss.
Bom então, sendo nossa superfície (o cone) e um disco em que fecha a região, podemos aplicar o teorema. Repare que, juntanto e , nós limitamos a região do problema.
Como a região limitada por e é fechada, sendo essa fronteira orientada positivamente (as normais apontam para fora da região), podemos aplicar o Teorema de Gauss:
Como queremos a integral em :
Passo 2
Agora precisamos calcular . Temos:
Passo 3
Agora vamos montar a integral
Se você reparar, essa integral tripla é exatamente o volume do cone (que foi calculado na letra a) dessa questão). Podemos calcular esse volume também usando a fórmula:
Isso nos dá
Passo 4
Beleza, então precisamos só da integral no disco. Temos em .
Uando coordenadas polares, temos a parametrização
Onde e .
Agora, vamos calcular a normal:
Como a orientação da região implica que a normal ao plano aponte para cima, encontramos o vetor certo.
Agora, vamos usar a fórmula:
O campo em função de fica:
Levando o que temos para a integral:
Passo 5
Como a integral que queremos é dada por:
Encontramos nossa resposta.